Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 1² + 5² = 1 + 25 = 26
B = (1 + 5)² = 6² = 36
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5² + 7² est une somme : c'est la somme des carrés de 5 et de 7.
D = (3 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 3 et 7.
E = (12 + 13) ÷ 5 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 12 et 13 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 46 = 414 ≤ 420 < 423 = 9 × 47 : le quotient est 46, le reste 420 − 414 = 6.
420 = 9 × 46 + 6, avec 6 < 9.
18 × 86 = 1 548 ≤ 1 551 < 1 566 = 18 × 87 : le quotient est 86, le reste 1 551 − 1 548 = 3.
1 551 = 18 × 86 + 3, avec 3 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 480 = 14 × 34 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 14. ✔
(b) 480 = 14 × 33 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(c) 480 = 14 × 35 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 34, reste 4.
Comme 4 < 34 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 480 par 34 : quotient 14, reste 4.
3. 218 = 20 × 10 + 18
En 10 soirs, elle lit 200 pages ; il lui en reste encore 18.
a) Il lui faut 10 + 1 = 11 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 18 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 252 | oui | non | non | non | non |
| 485 | non | non | oui | non | non |
| 957 | non | oui | non | non | non |
| 6 507 | non | oui | non | oui | non |
| 2 890 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
1 252 → 1 + 2 + 5 + 2 = 10 485 → 4 + 8 + 5 = 17 957 → 9 + 5 + 7 = 21
6 507 → 6 + 5 + 0 + 7 = 18 2 890 → 2 + 8 + 9 + 0 = 19
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 0 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 9 ; □ = 4 : 12 ; □ = 7 : 15
3 solutions : 810, 840, 870.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 9 est un diviseur de 125. » Faux. 125 = 9 × 13 + 8 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 68 − 4 × 3 = 68 − 12 = 56
B = 12 + 4 ÷ 2 × 4 = 12 + 2 × 4 = 12 + 8 = 20
C = 77 − 4 × (10 − 6) = 77 − 4 × 4 = 77 − 16 = 61
D = [9 + 6 × (10 − 1)] ÷ 5 = [9 + 6 × 9] ÷ 5 = [9 + 54] ÷ 5 = 63 ÷ 5 = 12,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(7 × 9 − 7) × 2 = (63 − 7) × 2 = 56 × 2 = 112
7 × 2 × (4 − 3) = 7 × 2 × 1 = 14 × 1 = 14
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4 × 79 × 25 = 4 × 25 × 79 = 100 × 79 = 7 900
F = 3,6 × 1,3 + 3,6 × 8,7 = 3,6 × (1,3 + 8,7) = 3,6 × 10 = 36
G = 36 × 99 = 36 × (100 − 1) = 36 × 100 − 36 × 1 = 3 600 − 36 = 3 564
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 4 × 4 × 4 = 4³ 1,5 × 1,5 = 1,5²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « (2 + 5)² = 2² + 5² » Faux. (2 + 5)² = 7² = 49, alors que 2² + 5² = 4 + 25 = 29.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 81 = 9² : carré
96 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 96 < 100 = 10²) 114 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 114 < 121 = 11²)
127 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 127 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 1 = 4 × 9 − 1 = 36 − 1 = 35
B = (4 × 3)² − 1 = 12² − 1 = 144 − 1 = 143
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 3 : n² + 2 = 3² + 2 = 9 + 2 = 11 et 3n = 3 × 3 = 9.
11 ≠ 9 : l'égalité est fausse pour n = 3.
Pour n = 2 : n² + 2 = 2² + 2 = 4 + 2 = 6 et 3n = 3 × 2 = 6.
6 = 6 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 1, et seulement pour 2 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 3² = π × 9 = 9π
a) L'aire exacte est 9π m².
9 × 3,14 = 28,26
b) L'aire vaut environ 28 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 3², et non (π × 3)². On élève 3 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 42. » → encore 40 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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