Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (18 + 8) ÷ 2 = 26 ÷ 2 = 13
B = 18 + 8 ÷ 2 = 18 + 4 = 22
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
D = 3² + 6² est une somme : c'est la somme des carrés de 3 et de 6.
E = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 108 = 648 ≤ 653 < 654 = 6 × 109 : le quotient est 108, le reste 653 − 648 = 5.
653 = 6 × 108 + 5, avec 5 < 6.
26 × 52 = 1 352 ≤ 1 370 < 1 378 = 26 × 53 : le quotient est 52, le reste 1 370 − 1 352 = 18.
1 370 = 26 × 52 + 18, avec 18 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 332 = 13 × 24 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(b) 332 = 13 × 26 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 332 = 13 × 25 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 13. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 25, reste 7.
Comme 7 < 25 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 332 par 25 : quotient 13, reste 7.
3. 50 = 7 × 7 + 1
a) 50 jours font 7 semaines complètes et 1 jour.
Après 7 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 1 jour : dimanche → lundi.
b) Dans 50 jours, nous serons lundi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 115 | non | non | oui | non | non |
| 9 621 | non | oui | non | oui | non |
| 951 | non | oui | non | non | non |
| 1 414 | oui | non | non | non | non |
| 2 200 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
115 → 1 + 1 + 5 = 7 9 621 → 9 + 6 + 2 + 1 = 18 951 → 9 + 5 + 1 = 15
1 414 → 1 + 4 + 1 + 4 = 10 2 200 → 2 + 2 + 0 + 0 = 4
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 0 = 1 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 3 ; □ = 5 : 6 ; □ = 8 : 9
3 solutions : 120, 150, 180.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 70 est pair mais 70 = 3 × 23 + 1.
« 3 est un diviseur de 73. » Faux. 73 = 3 × 24 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 48 − 4 × 4 = 48 − 16 = 32
B = 20 + 40 ÷ 8 × 4 = 20 + 5 × 4 = 20 + 20 = 40
C = (7 + 6) × 4 − 7 = 13 × 4 − 7 = 52 − 7 = 45
D = 3,5 + 3 × 1,2 = 3,5 + 3,6 = 7,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × (9 + 7 × 2) = 8 × (9 + 14) = 8 × 23 = 184
6 × 4 − (8 − 7) = 6 × 4 − 1 = 24 − 1 = 23
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,25 + 12,5 × 0,75 = 12,5 × (0,25 + 0,75) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 2 × 83 × 5 = 2 × 5 × 83 = 10 × 83 = 830
G = 22 × 99 = 22 × (100 − 1) = 22 × 100 − 22 × 1 = 2 200 − 22 = 2 178
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 1,1 × 1,1 = 1,1² 4 × 4 = 4²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 6² = 6 × 6 = 36 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 3 × 3² = 9² » Faux. 3 × 3² = 3 × 9 = 27, alors que 9² = 81. Le carré ne porte que sur 3.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 26 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 26 < 36 = 6²)
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
110 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 110 < 121 = 11²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 2 = 3 × 4 − 2 = 12 − 2 = 10
B = (3 × 2)² − 2 = 6² − 2 = 36 − 2 = 34
C = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
D = (3 + 6)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 4 : 9a² = 9 × 4² = 9 × 16 = 144
Pour a = 0,5 : 9a² = 9 × 0,5² = 9 × 0,25 = 2,25
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 900 : 30 × 30 = 900, c'est-à-dire 30² = 900.
a) Le côté mesure 30 m.
4 × 30 = 120
b) Le périmètre est de 120 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 18 et 63. » → encore 44 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 25, 49.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.