Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (20 + 45) ÷ 5 = 65 ÷ 5 = 13
B = 20 + 45 ÷ 5 = 20 + 9 = 29
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9 × (7 − 5) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 7 et 5.
D = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
E = 27 − 6 × 4 est une différence : c'est la différence entre 27 et le produit de 6 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 198 = 594 ≤ 595 < 597 = 3 × 199 : le quotient est 198, le reste 595 − 594 = 1.
595 = 3 × 198 + 1, avec 1 < 3.
14 × 100 = 1 400 ≤ 1 401 < 1 414 = 14 × 101 : le quotient est 100, le reste 1 401 − 1 400 = 1.
1 401 = 14 × 100 + 1, avec 1 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 71 = 8 × 8 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 71 = 8 × 9 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 71 = 8 × 7 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 8, reste 7.
Comme 7 < 8 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 71 par 8 : quotient 8, reste 7.
3. 142 = 12 × 11 + 10, avec 10 < 12
a) Elle remplit 11 boîtes pleines.
b) Il reste 10 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 050 | oui | non | oui | non | oui |
| 965 | non | non | oui | non | non |
| 2 817 | non | oui | non | oui | non |
| 5 686 | oui | non | non | non | non |
| 867 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
3 050 → 3 + 0 + 5 + 0 = 8 965 → 9 + 6 + 5 = 20 2 817 → 2 + 8 + 1 + 7 = 18
5 686 → 5 + 6 + 8 + 6 = 25 867 → 8 + 6 + 7 = 21
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 4 + 5 + □ = 9 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 6 : 15
2 solutions : 450, 456.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 32 est pair mais 32 = 3 × 10 + 2.
« 35 est un multiple de 3. » Faux. 35 = 3 × 11 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 81 − 5 × 6 = 81 − 30 = 51
B = 2 × 9 − 6 × 2 = 18 − 12 = 6
C = (9 × 3 − 3) ÷ 5 = (27 − 3) ÷ 5 = 24 ÷ 5 = 4,8
D = [3 + 2 × (10 − 1)] ÷ 5 = [3 + 2 × 9] ÷ 5 = [3 + 18] ÷ 5 = 21 ÷ 5 = 4,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
3 + 7 − (6 + 4) = 3 + 7 − 10 = 10 − 10 = 0
5 × (5 + 9 + 5) = 5 × (14 + 5) = 5 × 19 = 95
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 45 × 101 = 45 × (100 + 1) = 45 × 100 + 45 × 1 = 4 500 + 45 = 4 545
F = 83 + 0,75 + 17 = 83 + 17 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
G = 3,6 × 0,4 + 3,6 × 0,6 = 3,6 × (0,4 + 0,6) = 3,6 × 1 = 3,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 5 × 5 = 5² 3 × 3 × 3 = 3³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (3 + 4)² = 3² + 4² » Faux. (3 + 4)² = 7² = 49, alors que 3² + 4² = 9 + 16 = 25.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 56 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 56 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
84 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 84 < 100 = 10²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 3 = 5 × 16 − 3 = 80 − 3 = 77
B = (5 × 4)² − 3 = 20² − 3 = 400 − 3 = 397
C = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
D = (4 + 3)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 6 : n² + 7n = 6² + 7 × 6 = 36 + 7 × 6 = 36 + 42 = 78
Pour n = 0,5 : n² + 7n = 0,5² + 7 × 0,5 = 0,25 + 7 × 0,5 = 0,25 + 3,5 = 3,75
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
3 × 5 = 15
a) Il faut 15 carreaux le long d'un côté.
15 rangées de 15 carreaux : 15² = 15 × 15 = 225
b) Il faut 225 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 88 et 132. » → encore 43 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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