Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 7² + 1² = 49 + 1 = 50
B = (7 + 1)² = 8² = 64
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 10² − 13 est une différence : c'est la différence entre le carré de 10 et 13.
D = 14 + 54 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 14 et du quotient de 54 par 6.
E = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 123 = 984 ≤ 985 < 992 = 8 × 124 : le quotient est 123, le reste 985 − 984 = 1.
985 = 8 × 123 + 1, avec 1 < 8.
20 × 74 = 1 480 ≤ 1 490 < 1 500 = 20 × 75 : le quotient est 74, le reste 1 490 − 1 480 = 10.
1 490 = 20 × 74 + 10, avec 10 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 410 = 11 × 37 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 410 = 11 × 38 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 410 = 11 × 36 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 37, reste 3.
Comme 3 < 37 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 410 par 37 : quotient 11, reste 3.
3. 66 = 9 × 7 + 3
7 minibus pleins transportent 63 élèves ; il en reste 3 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 7 + 1 = 8 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 3 = 6 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 320 | oui | non | oui | non | oui |
| 8 642 | oui | non | non | non | non |
| 597 | non | oui | non | non | non |
| 2 727 | non | oui | non | oui | non |
| 725 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
2 320 → 2 + 3 + 2 + 0 = 7 8 642 → 8 + 6 + 4 + 2 = 20 597 → 5 + 9 + 7 = 21
2 727 → 2 + 7 + 2 + 7 = 18 725 → 7 + 2 + 5 = 14
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 4 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 12 ; □ = 4 : 15 ; □ = 7 : 18
3 solutions : 714, 744, 774.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 9 est un diviseur de 115. » Faux. 115 = 9 × 12 + 7 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 20 + 8 × 9 = 20 + 72 = 92
B = 3 + 36 ÷ 4 × 2 = 3 + 9 × 2 = 3 + 18 = 21
C = (6 × 8 − 3) ÷ 2 = (48 − 3) ÷ 2 = 45 ÷ 2 = 22,5
D = 9,4 + 2 × 1,5 = 9,4 + 3 = 12,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (5 × 4 − 4) = 5 × (20 − 4) = 5 × 16 = 80
(9 + 7) × 3 + 5 = 16 × 3 + 5 = 48 + 5 = 53
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 48 + 3,45 + 52 = 48 + 52 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
F = 1,5 × 0,7 + 1,5 × 0,3 = 1,5 × (0,7 + 0,3) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 39 × 9 = 39 × (10 − 1) = 39 × 10 − 39 × 1 = 390 − 39 = 351
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 10 × 10 = 10² 3 × 3 × 3 = 3³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 8² = 8 × 8 = 64 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 2 × 3² = 6² » Faux. 2 × 3² = 2 × 9 = 18, alors que 6² = 36. Le carré ne porte que sur 3.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 38 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 38 < 49 = 7²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 86 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 86 < 100 = 10²)
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 5² − 9 = 2 × 25 − 9 = 50 − 9 = 41
B = (2 × 5)² − 9 = 10² − 9 = 100 − 9 = 91
C = 4² + 2² = 16 + 4 = 20
D = (4 + 2)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 6 : a² + 9a = 6² + 9 × 6 = 36 + 9 × 6 = 36 + 54 = 90
Pour a = 10 : a² + 9a = 10² + 9 × 10 = 100 + 9 × 10 = 100 + 90 = 190
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 8² = π × 64 = 64π
a) L'aire exacte est 64π m².
64 × 3,14 = 200,96
b) L'aire vaut environ 201 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 8², et non (π × 8)². On élève 8 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 53 et 89. » → encore 35 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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