Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (12 − 5) × 2 = 7 × 2 = 14
B = 12 − 5 × 2 = 12 − 10 = 2
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 18 − 5 × 2 est une différence : c'est la différence entre 18 et le produit de 5 par 2.
D = 10 + 6 × 5 est une somme : c'est la somme de 10 et du produit de 6 par 5.
E = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 169 = 507 ≤ 508 < 510 = 3 × 170 : le quotient est 169, le reste 508 − 507 = 1.
508 = 3 × 169 + 1, avec 1 < 3.
13 × 189 = 2 457 ≤ 2 469 < 2 470 = 13 × 190 : le quotient est 189, le reste 2 469 − 2 457 = 12.
2 469 = 13 × 189 + 12, avec 12 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 241 = 11 × 22 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 241 = 11 × 20 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 241 = 11 × 21 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 21, reste 10.
Comme 10 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 241 par 21 : quotient 11, reste 10.
3. 101 = 15 × 6 + 11
6 minibus pleins transportent 90 élèves ; il en reste 11 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 11 = 4 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 471 | non | oui | non | non | non |
| 655 | non | non | oui | non | non |
| 9 891 | non | oui | non | oui | non |
| 7 552 | oui | non | non | non | non |
| 2 540 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
471 → 4 + 7 + 1 = 12 655 → 6 + 5 + 5 = 16 9 891 → 9 + 8 + 9 + 1 = 27
7 552 → 7 + 5 + 5 + 2 = 19 2 540 → 2 + 5 + 4 + 0 = 11
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 2 = 3 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 6 : 9
Une seule solution : 162.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 882, somme des chiffres 18.
« 161 est un multiple de 7. » Vrai. 161 = 7 × 23 : le reste de la division de 161 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 23 − 4 + 5 = 19 + 5 = 24
B = 12 + 56 ÷ 8 × 4 = 12 + 7 × 4 = 12 + 28 = 40
C = (5 + 12) × 3 − 9 = 17 × 3 − 9 = 51 − 9 = 42
D = 8,4 + 2 × 0,5 = 8,4 + 1 = 9,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 − 2) × 2 + 6 = 3 × 2 + 6 = 6 + 6 = 12
3 + 9 − (5 + 5) = 3 + 9 − 10 = 12 − 10 = 2
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 36 × 11 = 36 × (10 + 1) = 36 × 10 + 36 × 1 = 360 + 36 = 396
F = 68 + 7,8 + 32 = 68 + 32 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 3,6 × 1,3 + 3,6 × 8,7 = 3,6 × (1,3 + 8,7) = 3,6 × 10 = 36
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 5 × 5 = 5² 1,1 × 1,1 = 1,1²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 11² = 11 × 11 = 121 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4 × 4² = 16² » Faux. 4 × 4² = 4 × 16 = 64, alors que 16² = 256. Le carré ne porte que sur 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
33 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 33 < 36 = 6²) 36 = 6² : carré
49 = 7² : carré 75 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 75 < 81 = 9²)
120 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 120 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 5 = 3 × 16 − 5 = 48 − 5 = 43
B = (3 × 4)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
C = 1² + 4² = 1 + 16 = 17
D = (1 + 4)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 5 = 2 × 2² − 5 = 2 × 4 − 5 = 8 − 5 = 3
B = (2a)² − 5 = (2 × 2)² − 5 = 4² − 5 = 16 − 5 = 11
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 5² = π × 25 = 25π
a) L'aire exacte est 25π m².
25 × 3,14 = 78,5
b) L'aire vaut environ 79 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 5², et non (π × 5)². On élève 5 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 122 et 175. » → encore 52 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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