Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 11 − 5 × 2 = 11 − 10 = 1
B = (11 − 5) × 2 = 6 × 2 = 12
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9 × (7 − 2) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 7 et 2.
D = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
E = 7 + 48 ÷ 6 est une somme : c'est la somme de 7 et du quotient de 48 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 53 = 424 ≤ 430 < 432 = 8 × 54 : le quotient est 53, le reste 430 − 424 = 6.
430 = 8 × 53 + 6, avec 6 < 8.
11 × 218 = 2 398 ≤ 2 400 < 2 409 = 11 × 219 : le quotient est 218, le reste 2 400 − 2 398 = 2.
2 400 = 11 × 218 + 2, avec 2 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 133 = 13 × 9 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(b) 133 = 13 × 11 − 10 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 133 = 13 × 10 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 13. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 10, reste 3.
Comme 3 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 133 par 10 : quotient 13, reste 3.
3. 123 = 15 × 8 + 3
8 minibus pleins transportent 120 élèves ; il en reste 3 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 8 + 1 = 9 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 3 = 12 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 745 | non | non | oui | non | non |
| 2 312 | oui | non | non | non | non |
| 507 | non | oui | non | non | non |
| 7 263 | non | oui | non | oui | non |
| 9 110 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
745 → 7 + 4 + 5 = 16 2 312 → 2 + 3 + 1 + 2 = 8 507 → 5 + 0 + 7 = 12
7 263 → 7 + 2 + 6 + 3 = 18 9 110 → 9 + 1 + 1 + 0 = 11
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 6 = 14 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 18
Une seule solution : 846.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 882, somme des chiffres 18.
« 76 est un multiple de 4. » Vrai. 76 = 4 × 19 : le reste de la division de 76 par 4 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 27 − 14 + 8 = 13 + 8 = 21
B = 5 × 5 − 5 × 5 = 25 − 25 = 0
C = 91 − 4 × (18 − 2) = 91 − 4 × 16 = 91 − 64 = 27
D = 3 × [27 − (5 + 8)] = 3 × [27 − 13] = 3 × 14 = 42
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (7 × 2 + 8) = 5 × (14 + 8) = 5 × 22 = 110
(5 + 6) × 4 × 3 = 11 × 4 × 3 = 44 × 3 = 132
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2,7 × 1,3 + 2,7 × 8,7 = 2,7 × (1,3 + 8,7) = 2,7 × 10 = 27
F = 37 × 9 = 37 × (10 − 1) = 37 × 10 − 37 × 1 = 370 − 37 = 333
G = 5 × 80 × 20 = 5 × 20 × 80 = 100 × 80 = 8 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 5 × 5 = 5² 5 × 5 × 5 = 5³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 9² = 9 × 9 = 81 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
36 = 6² : carré 82 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 82 < 100 = 10²)
99 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 99 < 100 = 10²) 108 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 108 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 5 = 5 × 4 − 5 = 20 − 5 = 15
B = (5 × 2)² − 5 = 10² − 5 = 100 − 5 = 95
C = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
D = (1 + 6)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 6 : 3n² = 3 × 6² = 3 × 36 = 108
Pour n = 10 : 3n² = 3 × 10² = 3 × 100 = 300
Exercice 7 — Correction
1. V = 30³ = 30 × 30 × 30 = 27 000
a) Le volume est de 27 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
27 000 ÷ 1 000 = 27
b) L'aquarium contient 27 litres.
Autre façon de voir : 30 cm, c'est 3 fois 10 cm ; on range 3 × 3 × 3 = 27 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 251 et 310. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 256, 289.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 289.
Le nombre mystère est 289 (289 = 17²).
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