Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 + 5)² = 7² = 49
B = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 12 + 24 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 12 et du quotient de 24 par 4.
D = (1 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 1 et 7.
E = 2 × 3² est un produit : c'est le double du carré de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 22 = 132 ≤ 133 < 138 = 6 × 23 : le quotient est 22, le reste 133 − 132 = 1.
133 = 6 × 22 + 1, avec 1 < 6.
23 × 36 = 828 ≤ 838 < 851 = 23 × 37 : le quotient est 36, le reste 838 − 828 = 10.
838 = 23 × 36 + 10, avec 10 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 13 » :
(a) 268 = 13 × 19 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 13, on pouvait encore mettre 13 une fois de plus.
(b) 268 = 13 × 20 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 13. ✔
(c) 268 = 13 × 21 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 20, reste 8.
Comme 8 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 268 par 20 : quotient 13, reste 8.
3. 266 = 20 × 13 + 6
En 13 soirs, elle lit 260 pages ; il lui en reste encore 6.
a) Il lui faut 13 + 1 = 14 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 6 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 860 | oui | non | oui | non | oui |
| 4 311 | non | oui | non | oui | non |
| 9 088 | oui | non | non | non | non |
| 111 | non | oui | non | non | non |
| 935 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
8 860 → 8 + 8 + 6 + 0 = 22 4 311 → 4 + 3 + 1 + 1 = 9 9 088 → 9 + 0 + 8 + 8 = 25
111 → 1 + 1 + 1 = 3 935 → 9 + 3 + 5 = 17
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 8 + 8 + □ = 16 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 21
Une seule solution : 885.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 68 est pair mais 68 = 3 × 22 + 2.
« 80 est un multiple de 5. » Vrai. 80 = 5 × 16 : le reste de la division de 80 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 20 − 2 + 2 = 18 + 2 = 20
B = 48 ÷ 8 × 3 = 6 × 3 = 18
C = (8 × 6 − 1) ÷ 2 = (48 − 1) ÷ 2 = 47 ÷ 2 = 23,5
D = 9,8 + 6 × 1,5 = 9,8 + 9 = 18,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 2 × 3) × 3 = (2 + 6) × 3 = 8 × 3 = 24
9 × (8 − 6) − 8 = 9 × 2 − 8 = 18 − 8 = 10
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 48 + 5,05 + 52 = 48 + 52 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
F = 15 × 101 = 15 × (100 + 1) = 15 × 100 + 15 × 1 = 1 500 + 15 = 1 515
G = 14 × 81 − 14 × 71 = 14 × (81 − 71) = 14 × 10 = 140
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 1,1 × 1,1 = 1,1² 3 × 3 × 3 = 3³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « (1 + 3)² = 1² + 3² » Faux. (1 + 3)² = 4² = 16, alors que 1² + 3² = 1 + 9 = 10.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 36 = 6² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 106 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 106 < 121 = 11²)
138 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 138 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 8 = 4 × 36 − 8 = 144 − 8 = 136
B = (4 × 6)² − 8 = 24² − 8 = 576 − 8 = 568
C = 7² + 1² = 49 + 1 = 50
D = (7 + 1)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 3 = 1² + 3 = 1 + 3 = 4 et 4x = 4 × 1 = 4.
4 = 4 : l'égalité est vraie pour x = 1.
Pour x = 5 : x² + 3 = 5² + 3 = 25 + 3 = 28 et 4x = 4 × 5 = 20.
28 ≠ 20 : l'égalité est fausse pour x = 5.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 3, et seulement pour 1 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 49 et 90. » → encore 40 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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