Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (24 + 27) ÷ 3 = 51 ÷ 3 = 17
B = 24 + 27 ÷ 3 = 24 + 9 = 33
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
D = 3 + 25 ÷ 5 est une somme : c'est la somme de 3 et du quotient de 25 par 5.
E = 2 × 8² est un produit : c'est le double du carré de 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 99 = 891 ≤ 898 < 900 = 9 × 100 : le quotient est 99, le reste 898 − 891 = 7.
898 = 9 × 99 + 7, avec 7 < 9.
25 × 33 = 825 ≤ 833 < 850 = 25 × 34 : le quotient est 33, le reste 833 − 825 = 8.
833 = 25 × 33 + 8, avec 8 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 173 = 14 × 11 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(b) 173 = 14 × 12 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 14. ✔
(c) 173 = 14 × 13 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 12, reste 5.
Comme 5 < 12 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 173 par 12 : quotient 14, reste 5.
3. 87 = 6 × 14 + 3, avec 3 < 6
a) Elle remplit 14 boîtes pleines.
b) Il reste 3 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 455 | non | non | oui | non | non |
| 8 276 | oui | non | non | non | non |
| 5 679 | non | oui | non | oui | non |
| 2 080 | oui | non | oui | non | oui |
| 831 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
455 → 4 + 5 + 5 = 14 8 276 → 8 + 2 + 7 + 6 = 23 5 679 → 5 + 6 + 7 + 9 = 27
2 080 → 2 + 0 + 8 + 0 = 10 831 → 8 + 3 + 1 = 12
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 0 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 705.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 20 est pair mais 20 = 3 × 6 + 2.
« 5 est un diviseur de 100. » Vrai. 100 = 5 × 20 : le reste de la division de 100 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 19 + 6 × 5 = 19 + 30 = 49
B = 11 + 42 ÷ 7 × 4 = 11 + 6 × 4 = 11 + 24 = 35
C = (8 + 3) × 2 − 5 = 11 × 2 − 5 = 22 − 5 = 17
D = 4 × [38 − (4 + 8)] = 4 × [38 − 12] = 4 × 26 = 104
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (7 + 6 × 3) = 7 × (7 + 18) = 7 × 25 = 175
3 × 9 − (4 − 2) = 3 × 9 − 2 = 27 − 2 = 25
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 41 + 7,8 + 59 = 41 + 59 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 27 × 101 = 27 × (100 + 1) = 27 × 100 + 27 × 1 = 2 700 + 27 = 2 727
G = 35 × 18 + 35 × 82 = 35 × (18 + 82) = 35 × 100 = 3 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 6 × 6 × 6 = 6³ 10 × 10 = 10²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 11² = 11 × 11 = 121 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 36 = 6² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 82 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 82 < 100 = 10²)
109 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 109 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 1 = 2 × 36 − 1 = 72 − 1 = 71
B = (2 × 6)² − 1 = 12² − 1 = 144 − 1 = 143
C = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
D = (4 + 7)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 1 : n² + 4 = 1² + 4 = 1 + 4 = 5 et 5n = 5 × 1 = 5.
5 = 5 : l'égalité est vraie pour n = 1.
Pour n = 8 : n² + 4 = 8² + 4 = 64 + 4 = 68 et 5n = 5 × 8 = 40.
68 ≠ 40 : l'égalité est fausse pour n = 8.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 1 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 116 et 179. » → encore 62 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144, 169.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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