Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 16 − 5 × 2 = 16 − 10 = 6
B = (16 − 5) × 2 = 11 × 2 = 22
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8 + 2 × 8 est une somme : c'est la somme de 8 et du produit de 2 par 8.
D = 38 − 4 × 7 est une différence : c'est la différence entre 38 et le produit de 4 par 7.
E = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 106 = 742 ≤ 744 < 749 = 7 × 107 : le quotient est 106, le reste 744 − 742 = 2.
744 = 7 × 106 + 2, avec 2 < 7.
29 × 36 = 1 044 ≤ 1 055 < 1 073 = 29 × 37 : le quotient est 36, le reste 1 055 − 1 044 = 11.
1 055 = 29 × 36 + 11, avec 11 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 173 = 14 × 13 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 173 = 14 × 11 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(c) 173 = 14 × 12 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 14. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 12, reste 5.
Comme 5 < 12 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 173 par 12 : quotient 14, reste 5.
3. 387 = 30 × 12 + 27
En 12 soirs, elle lit 360 pages ; il lui en reste encore 27.
a) Il lui faut 12 + 1 = 13 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 27 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 792 | oui | non | non | non | non |
| 321 | non | oui | non | non | non |
| 4 990 | oui | non | oui | non | oui |
| 7 551 | non | oui | non | oui | non |
| 245 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
8 792 → 8 + 7 + 9 + 2 = 26 321 → 3 + 2 + 1 = 6 4 990 → 4 + 9 + 9 + 0 = 22
7 551 → 7 + 5 + 5 + 1 = 18 245 → 2 + 4 + 5 = 11
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 8 + 2 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 825.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 864, somme des chiffres 18.
« 5 est un diviseur de 91. » Faux. 91 = 5 × 18 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 51 − 8 + 14 = 43 + 14 = 57
B = 27 ÷ 3 × 2 = 9 × 2 = 18
C = 88 − 2 × (12 − 2) = 88 − 2 × 10 = 88 − 20 = 68
D = 4 × [39 − (4 + 5)] = 4 × [39 − 9] = 4 × 30 = 120
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × (3 × 4 + 8) = 9 × (12 + 8) = 9 × 20 = 180
6 × (8 + 5) − 9 = 6 × 13 − 9 = 78 − 9 = 69
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 41 × 56 − 41 × 46 = 41 × (56 − 46) = 41 × 10 = 410
F = 20 × 101 = 20 × (100 + 1) = 20 × 100 + 20 × 1 = 2 000 + 20 = 2 020
G = 2 × 48 × 5 = 2 × 5 × 48 = 10 × 48 = 480
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 11 × 11 = 11² 3 × 3 × 3 = 3³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
58 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 58 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 128 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 128 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 4 = 2 × 9 − 4 = 18 − 4 = 14
B = (2 × 3)² − 4 = 6² − 4 = 36 − 4 = 32
C = 6² + 5² = 36 + 25 = 61
D = (6 + 5)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 1 : x² + 10 = 1² + 10 = 1 + 10 = 11 et 7x = 7 × 1 = 7.
11 ≠ 7 : l'égalité est fausse pour x = 1.
Pour x = 2 : x² + 10 = 2² + 10 = 4 + 10 = 14 et 7x = 7 × 2 = 14.
14 = 14 : l'égalité est vraie pour x = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 5, et seulement pour 2 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 27 :
5² = 25 ≤ 27 et 6² = 36 > 27.
a) Elle mettra 5 dalles sur chaque côté.
27 − 25 = 2
b) Il lui restera 2 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 135 et 177. » → encore 41 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Mon chiffre des unités est 4. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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