Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (3 + 6) × 8 = 9 × 8 = 72
B = 3 + 6 × 8 = 3 + 48 = 51
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (7 + 5) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 7 et 5 par 4.
D = (3 + 4) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 3 et 4 par 2.
E = 15 + 54 ÷ 9 est une somme : c'est la somme de 15 et du quotient de 54 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 150 = 750 ≤ 753 < 755 = 5 × 151 : le quotient est 150, le reste 753 − 750 = 3.
753 = 5 × 150 + 3, avec 3 < 5.
26 × 34 = 884 ≤ 900 < 910 = 26 × 35 : le quotient est 34, le reste 900 − 884 = 16.
900 = 26 × 34 + 16, avec 16 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 365 = 14 × 26 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 14. ✔
(b) 365 = 14 × 27 − 13 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 365 = 14 × 25 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 26, reste 1.
Comme 1 < 26 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 365 par 26 : quotient 14, reste 1.
3. 89 = 12 × 7 + 5, avec 5 < 12
a) Elle remplit 7 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 944 | oui | non | non | non | non |
| 935 | non | non | oui | non | non |
| 807 | non | oui | non | non | non |
| 6 610 | oui | non | oui | non | oui |
| 1 683 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
3 944 → 3 + 9 + 4 + 4 = 20 935 → 9 + 3 + 5 = 17 807 → 8 + 0 + 7 = 15
6 610 → 6 + 6 + 1 + 0 = 13 1 683 → 1 + 6 + 8 + 3 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 3 + 4 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 8 : 15
2 solutions : 342, 348.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 684, somme des chiffres 18.
« 6 est un diviseur de 105. » Faux. 105 = 6 × 17 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 22 + 6 × 5 = 22 + 30 = 52
B = 8 × 7 − 2 × 5 = 56 − 10 = 46
C = 54 − 5 × (12 − 4) = 54 − 5 × 8 = 54 − 40 = 14
D = 6,1 + 4 × 1,2 = 6,1 + 4,8 = 10,9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 + (5 + 7) × 5 = 5 + 12 × 5 = 5 + 60 = 65
9 × 5 − (6 + 5) = 9 × 5 − 11 = 45 − 11 = 34
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 26 × 11 = 26 × (10 + 1) = 26 × 10 + 26 × 1 = 260 + 26 = 286
F = 27 × 47 + 27 × 53 = 27 × (47 + 53) = 27 × 100 = 2 700
G = 58 + 5,05 + 42 = 58 + 42 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 1,1 × 1,1 = 1,1² 3 × 3 × 3 = 3³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 10² = 10 × 10 = 100 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
67 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 67 < 81 = 9²) 77 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 77 < 81 = 9²)
81 = 9² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 3 = 2 × 9 − 3 = 18 − 3 = 15
B = (2 × 3)² − 3 = 6² − 3 = 36 − 3 = 33
C = 3² + 7² = 9 + 49 = 58
D = (3 + 7)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 6 = 2 × 2² − 6 = 2 × 4 − 6 = 8 − 6 = 2
B = (2x)² − 6 = (2 × 2)² − 6 = 4² − 6 = 16 − 6 = 10
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 81 : 9 × 9 = 81, c'est-à-dire 9² = 81.
a) Le côté mesure 9 m.
4 × 9 = 36
b) Le périmètre est de 36 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 195 et 246. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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