Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 6)² = 12² = 144
B = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 10² − 7 est une différence : c'est la différence entre le carré de 10 et 7.
D = (7 + 3) × 6 est un produit : c'est le produit de la somme de 7 et 3 par 6.
E = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 28 = 112 ≤ 113 < 116 = 4 × 29 : le quotient est 28, le reste 113 − 112 = 1.
113 = 4 × 28 + 1, avec 1 < 4.
12 × 61 = 732 ≤ 735 < 744 = 12 × 62 : le quotient est 61, le reste 735 − 732 = 3.
735 = 12 × 61 + 3, avec 3 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 175 = 8 × 21 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 8. ✔
(b) 175 = 8 × 22 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 175 = 8 × 20 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 21, reste 7.
Comme 7 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 175 par 21 : quotient 8, reste 7.
3. 273 = 25 × 10 + 23
En 10 soirs, elle lit 250 pages ; il lui en reste encore 23.
a) Il lui faut 10 + 1 = 11 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 23 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 960 | oui | non | oui | non | oui |
| 9 686 | oui | non | non | non | non |
| 777 | non | oui | non | non | non |
| 395 | non | non | oui | non | non |
| 4 257 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
5 960 → 5 + 9 + 6 + 0 = 20 9 686 → 9 + 6 + 8 + 6 = 29 777 → 7 + 7 + 7 = 21
395 → 3 + 9 + 5 = 17 4 257 → 4 + 2 + 5 + 7 = 18
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 7 = 15 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 18
Une seule solution : 837.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 270 est un multiple de 9. » Vrai. 270 = 9 × 30 : le reste de la division de 270 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 59 − 8 + 4 = 51 + 4 = 55
B = 8 + 49 ÷ 7 × 3 = 8 + 7 × 3 = 8 + 21 = 29
C = (4 + 2) × 6 − 2 = 6 × 6 − 2 = 36 − 2 = 34
D = 1,8 + 6 × 0,5 = 1,8 + 3 = 4,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 + 4) × 9 + 6 = 10 × 9 + 6 = 90 + 6 = 96
(9 × 3 − 3) × 8 = (27 − 3) × 8 = 24 × 8 = 192
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 95 × 125 = 8 × 125 × 95 = 1 000 × 95 = 95 000
F = 41 × 99 = 41 × (100 − 1) = 41 × 100 − 41 × 1 = 4 100 − 41 = 4 059
G = 23 × 60 − 23 × 50 = 23 × (60 − 50) = 23 × 10 = 230
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 9 × 9 = 9²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 8² = 8 × 8 = 64 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 61 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 61 < 64 = 8²)
71 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 71 < 81 = 9²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 3² − 2 = 3 × 9 − 2 = 27 − 2 = 25
B = (3 × 3)² − 2 = 9² − 2 = 81 − 2 = 79
C = 2² + 4² = 4 + 16 = 20
D = (2 + 4)² = 6² = 36
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 4 = 3 × 5² − 4 = 3 × 25 − 4 = 75 − 4 = 71
B = (3x)² − 4 = (3 × 5)² − 4 = 15² − 4 = 225 − 4 = 221
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 3 et 62. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 4, 16, 36.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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