Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4² − 5 est une différence : c'est la différence entre le carré de 4 et 5.
D = 2 × 5² est un produit : c'est le double du carré de 5.
E = 16 + 8 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 16 et du quotient de 8 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 118 = 708 ≤ 713 < 714 = 6 × 119 : le quotient est 118, le reste 713 − 708 = 5.
713 = 6 × 118 + 5, avec 5 < 6.
20 × 60 = 1 200 ≤ 1 218 < 1 220 = 20 × 61 : le quotient est 60, le reste 1 218 − 1 200 = 18.
1 218 = 20 × 60 + 18, avec 18 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 315 = 10 × 32 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 315 = 10 × 31 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 315 = 10 × 30 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 31, reste 5.
Comme 5 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 315 par 31 : quotient 10, reste 5.
3. 246 = 7 × 35 + 1
a) 246 jours font 35 semaines complètes et 1 jour.
Après 35 semaines complètes, on est de nouveau jeudi. Il reste à avancer de 1 jour : jeudi → vendredi.
b) Dans 246 jours, nous serons vendredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 771 | non | oui | non | non | non |
| 8 548 | oui | non | non | non | non |
| 575 | non | non | oui | non | non |
| 8 901 | non | oui | non | oui | non |
| 2 990 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
771 → 7 + 7 + 1 = 15 8 548 → 8 + 5 + 4 + 8 = 25 575 → 5 + 7 + 5 = 17
8 901 → 8 + 9 + 0 + 1 = 18 2 990 → 2 + 9 + 9 + 0 = 20
2. Somme des chiffres : 7 + □ + 4 = 11 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 7 : 18
Une seule solution : 774.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 46 est pair mais 46 = 3 × 15 + 1.
« 75 est un multiple de 3. » Vrai. 75 = 3 × 25 : le reste de la division de 75 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 6 + 4 × 8 = 6 + 32 = 38
B = 5 × 8 − 3 × 4 = 40 − 12 = 28
C = (6 × 9 − 3) ÷ 4 = (54 − 3) ÷ 4 = 51 ÷ 4 = 12,75
D = 5 × [20 − (9 + 6)] = 5 × [20 − 15] = 5 × 5 = 25
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × (7 − 4 − 3) = 2 × (3 − 3) = 2 × 0 = 0
(8 − 3 + 5) × 5 = (5 + 5) × 5 = 10 × 5 = 50
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 48 × 11 = 48 × (10 + 1) = 48 × 10 + 48 × 1 = 480 + 48 = 528
F = 1,5 × 0,25 + 1,5 × 0,75 = 1,5 × (0,25 + 0,75) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 41 + 5,05 + 59 = 41 + 59 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 3 × 3 = 3² 3 × 3 × 3 = 3³
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 11² = 11 × 11 = 121 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (5 + 3)² = 5² + 3² » Faux. (5 + 3)² = 8² = 64, alors que 5² + 3² = 25 + 9 = 34.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
15 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 15 < 16 = 4²) 27 = 3³ : cube
33 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 33 < 36 = 6²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
100 = 10² : carré 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 2 = 3 × 36 − 2 = 108 − 2 = 106
B = (3 × 6)² − 2 = 18² − 2 = 324 − 2 = 322
C = 6² + 2² = 36 + 4 = 40
D = (6 + 2)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 3 = 5 × 2² − 3 = 5 × 4 − 3 = 20 − 3 = 17
B = (5a)² − 3 = (5 × 2)² − 3 = 10² − 3 = 100 − 3 = 97
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 900 : 30 × 30 = 900, c'est-à-dire 30² = 900.
a) Le côté mesure 30 m.
4 × 30 = 120
b) Le périmètre est de 120 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 63 et 110. » → encore 46 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 64, 81, 100.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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