Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 17 − 4 × 3 = 17 − 12 = 5
B = (17 − 4) × 3 = 13 × 3 = 39
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (5 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 1.
D = 11 + 16 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 11 et du quotient de 16 par 4.
E = (3 + 13) ÷ 4 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 3 et 13 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 105 = 525 ≤ 528 < 530 = 5 × 106 : le quotient est 105, le reste 528 − 525 = 3.
528 = 5 × 105 + 3, avec 3 < 5.
12 × 140 = 1 680 ≤ 1 686 < 1 692 = 12 × 141 : le quotient est 140, le reste 1 686 − 1 680 = 6.
1 686 = 12 × 140 + 6, avec 6 < 12.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 506 = 14 × 36 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 14. ✔
(b) 506 = 14 × 37 − 12 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 506 = 14 × 35 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 36, reste 2.
Comme 2 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 506 par 36 : quotient 14, reste 2.
3. 75 = 12 × 6 + 3, avec 3 < 12
a) Elle remplit 6 boîtes pleines.
b) Il reste 3 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 808 | oui | non | non | non | non |
| 635 | non | non | oui | non | non |
| 7 749 | non | oui | non | oui | non |
| 951 | non | oui | non | non | non |
| 5 990 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
6 808 → 6 + 8 + 0 + 8 = 22 635 → 6 + 3 + 5 = 14 7 749 → 7 + 7 + 4 + 9 = 27
951 → 9 + 5 + 1 = 15 5 990 → 5 + 9 + 9 + 0 = 23
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 1 + □ = 3 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3 ; □ = 6 : 9
2 solutions : 210, 216.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 333, somme des chiffres 9.
« 4 est un diviseur de 97. » Faux. 97 = 4 × 24 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 89 − 2 × 3 = 89 − 6 = 83
B = 54 ÷ 9 × 3 = 6 × 3 = 18
C = (5 × 9 − 4) ÷ 5 = (45 − 4) ÷ 5 = 41 ÷ 5 = 8,2
D = 2 × [37 − (4 + 2)] = 2 × [37 − 6] = 2 × 31 = 62
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(6 + 7) × 9 + 5 = 13 × 9 + 5 = 117 + 5 = 122
(8 + 8 × 4) × 3 = (8 + 32) × 3 = 40 × 3 = 120
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
F = 55 + 5,05 + 45 = 55 + 45 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
G = 21 × 101 = 21 × (100 + 1) = 21 × 100 + 21 × 1 = 2 100 + 21 = 2 121
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 4 × 4 × 4 = 4³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 6² = 6 × 6 = 36 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
36 = 6² : carré 52 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 52 < 64 = 8²)
74 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 74 < 81 = 9²) 126 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 126 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 8 = 2 × 9 − 8 = 18 − 8 = 10
B = (2 × 3)² − 8 = 6² − 8 = 36 − 8 = 28
C = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
D = (3 + 6)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 5 : 5n² = 5 × 5² = 5 × 25 = 125
Pour n = 0,5 : 5n² = 5 × 0,5² = 5 × 0,25 = 1,25
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 4 petits cubes sur 4 : 4² = 4 × 4 = 16.
a) On voit 16 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 4 couches de 16 petits cubes : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Il a utilisé 64 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 4 − 2 = 2 petits cubes d'arête. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
c) 8 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 161 et 215. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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