Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (19 − 5) × 3 = 14 × 3 = 42
B = 19 − 5 × 3 = 19 − 15 = 4
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 24 − 3 × 7 est une différence : c'est la différence entre 24 et le produit de 3 par 7.
D = 2 × 5² est un produit : c'est le double du carré de 5.
E = 9² + 1² est une somme : c'est la somme des carrés de 9 et de 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 58 = 406 ≤ 410 < 413 = 7 × 59 : le quotient est 58, le reste 410 − 406 = 4.
410 = 7 × 58 + 4, avec 4 < 7.
21 × 103 = 2 163 ≤ 2 181 < 2 184 = 21 × 104 : le quotient est 103, le reste 2 181 − 2 163 = 18.
2 181 = 21 × 103 + 18, avec 18 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 268 = 11 × 24 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 268 = 11 × 23 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 268 = 11 × 25 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 24, reste 4.
Comme 4 < 24 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 268 par 24 : quotient 11, reste 4.
3. 30 = 8 × 3 + 6
3 minibus pleins transportent 24 élèves ; il en reste 6 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 3 + 1 = 4 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 8 − 6 = 2 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 470 | oui | oui | oui | non | oui |
| 681 | non | oui | non | non | non |
| 4 167 | non | oui | non | oui | non |
| 1 246 | oui | non | non | non | non |
| 485 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
4 470 → 4 + 4 + 7 + 0 = 15 681 → 6 + 8 + 1 = 15 4 167 → 4 + 1 + 6 + 7 = 18
1 246 → 1 + 2 + 4 + 6 = 13 485 → 4 + 8 + 5 = 17
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 6 + 0 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6
Une seule solution : 600.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 639, somme des chiffres 18.
« 147 est un multiple de 6. » Faux. 147 = 6 × 24 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 18 + 3 × 4 = 18 + 12 = 30
B = 7 + 15 ÷ 5 × 3 = 7 + 3 × 3 = 7 + 9 = 16
C = 88 − 4 × (12 − 4) = 88 − 4 × 8 = 88 − 32 = 56
D = 8,3 + 4 × 0,2 = 8,3 + 0,8 = 9,1
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × 9 − (9 − 8) = 7 × 9 − 1 = 63 − 1 = 62
2 × (5 − 3) + 9 = 2 × 2 + 9 = 4 + 9 = 13
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 27 × 11 = 27 × (10 + 1) = 27 × 10 + 27 × 1 = 270 + 27 = 297
F = 4,5 × 0,25 + 4,5 × 0,75 = 4,5 × (0,25 + 0,75) = 4,5 × 1 = 4,5
G = 2 × 92 × 5 = 2 × 5 × 92 = 10 × 92 = 920
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 10 × 10 = 10² 3 × 3 × 3 = 3³
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 10² = 10 × 10 = 100 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 2 × 5² = 10² » Faux. 2 × 5² = 2 × 25 = 50, alors que 10² = 100. Le carré ne porte que sur 5.
« (1 + 2)² = 1² + 2² » Faux. (1 + 2)² = 3² = 9, alors que 1² + 2² = 1 + 4 = 5.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
59 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 59 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
84 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 84 < 100 = 10²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 3 = 3 × 16 − 3 = 48 − 3 = 45
B = (3 × 4)² − 3 = 12² − 3 = 144 − 3 = 141
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 2 = 4 × 2² − 2 = 4 × 4 − 2 = 16 − 2 = 14
B = (4a)² − 2 = (4 × 2)² − 2 = 8² − 2 = 64 − 2 = 62
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 3 et 62. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16, 25, 36, 49.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 4, 16, 25, 49.
« Mon chiffre des unités est 5. » → reste : 25.
Le nombre mystère est 25 (25 = 5²).
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