Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 9 − 2 × 2 = 9 − 4 = 5
B = (9 − 2) × 2 = 7 × 2 = 14
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4² + 9² est une somme : c'est la somme des carrés de 4 et de 9.
D = 5 × (12 − 7) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 12 et 7.
E = 22 − 2 × 4 est une différence : c'est la différence entre 22 et le produit de 2 par 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 76 = 608 ≤ 610 < 616 = 8 × 77 : le quotient est 76, le reste 610 − 608 = 2.
610 = 8 × 76 + 2, avec 2 < 8.
16 × 29 = 464 ≤ 467 < 480 = 16 × 30 : le quotient est 29, le reste 467 − 464 = 3.
467 = 16 × 29 + 3, avec 3 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 280 = 15 × 19 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 280 = 15 × 17 + 25 : le « reste » 25 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 280 = 15 × 18 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 15. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 18, reste 10.
Comme 10 < 18 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 280 par 18 : quotient 15, reste 10.
3. 170 = 30 × 5 + 20
En 5 soirs, elle lit 150 pages ; il lui en reste encore 20.
a) Il lui faut 5 + 1 = 6 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 20 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 237 | non | oui | non | non | non |
| 8 474 | oui | non | non | non | non |
| 125 | non | non | oui | non | non |
| 2 980 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 717 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
237 → 2 + 3 + 7 = 12 8 474 → 8 + 4 + 7 + 4 = 23 125 → 1 + 2 + 5 = 8
2 980 → 2 + 9 + 8 + 0 = 19 3 717 → 3 + 7 + 1 + 7 = 18
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 3 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 2 : 9
Une seule solution : 423.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 5 est un diviseur de 150. » Vrai. 150 = 5 × 30 : le reste de la division de 150 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 52 − 3 × 2 = 52 − 6 = 46
B = 4 × 3 − 2 × 6 = 12 − 12 = 0
C = (6 × 5 − 2) ÷ 5 = (30 − 2) ÷ 5 = 28 ÷ 5 = 5,6
D = 5 × [27 − (8 + 2)] = 5 × [27 − 10] = 5 × 17 = 85
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 3 × 2) × 5 = (2 + 6) × 5 = 8 × 5 = 40
(8 − 7 + 4) × 3 = (1 + 4) × 3 = 5 × 3 = 15
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 1,3 + 12,5 × 8,7 = 12,5 × (1,3 + 8,7) = 12,5 × 10 = 125
F = 35 × 99 = 35 × (100 − 1) = 35 × 100 − 35 × 1 = 3 500 − 35 = 3 465
G = 2 × 32 × 5 = 2 × 5 × 32 = 10 × 32 = 320
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 5 × 5 = 5² 2 × 2 × 2 = 2³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
12 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 12 < 16 = 4²) 25 = 5² : carré
27 = 3³ : cube 36 = 6² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 127 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 127 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 3² − 5 = 4 × 9 − 5 = 36 − 5 = 31
B = (4 × 3)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
C = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
D = (6 + 3)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 2 : x² + 10 = 2² + 10 = 4 + 10 = 14 et 7x = 7 × 2 = 14.
14 = 14 : l'égalité est vraie pour x = 2.
Pour x = 1 : x² + 10 = 1² + 10 = 1 + 10 = 11 et 7x = 7 × 1 = 7.
11 ≠ 7 : l'égalité est fausse pour x = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 5, et seulement pour 2 et 5.)
Exercice 7 — Correction
1. V = 30³ = 30 × 30 × 30 = 27 000
a) Le volume est de 27 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
27 000 ÷ 1 000 = 27
b) L'aquarium contient 27 litres.
Autre façon de voir : 30 cm, c'est 3 fois 10 cm ; on range 3 × 3 × 3 = 27 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 36. » → encore 34 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Mon chiffre des unités est 7. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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