Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (7 + 4)² = 11² = 121
B = 7² + 4² = 49 + 16 = 65
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 12² − 16 est une différence : c'est la différence entre le carré de 12 et 16.
D = (8 + 8) × 9 est un produit : c'est le produit de la somme de 8 et 8 par 9.
E = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 44 = 396 ≤ 402 < 405 = 9 × 45 : le quotient est 44, le reste 402 − 396 = 6.
402 = 9 × 44 + 6, avec 6 < 9.
16 × 27 = 432 ≤ 434 < 448 = 16 × 28 : le quotient est 27, le reste 434 − 432 = 2.
434 = 16 × 27 + 2, avec 2 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 299 = 11 × 27 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 11. ✔
(b) 299 = 11 × 26 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 299 = 11 × 28 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 27, reste 2.
Comme 2 < 27 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 299 par 27 : quotient 11, reste 2.
3. 171 = 6 × 28 + 3, avec 3 < 6
a) Elle remplit 28 boîtes pleines.
b) Il reste 3 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 115 | non | non | oui | non | non |
| 3 194 | oui | non | non | non | non |
| 1 899 | non | oui | non | oui | non |
| 681 | non | oui | non | non | non |
| 2 590 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
115 → 1 + 1 + 5 = 7 3 194 → 3 + 1 + 9 + 4 = 17 1 899 → 1 + 8 + 9 + 9 = 27
681 → 6 + 8 + 1 = 15 2 590 → 2 + 5 + 9 + 0 = 16
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 8 + 4 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12
Une seule solution : 840.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 909, somme des chiffres 18.
« 140 est un multiple de 5. » Vrai. 140 = 5 × 28 : le reste de la division de 140 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 29 + 3 × 5 = 29 + 15 = 44
B = 12 ÷ 2 × 4 = 6 × 4 = 24
C = (8 × 7 − 7) ÷ 4 = (56 − 7) ÷ 4 = 49 ÷ 4 = 12,25
D = 2 × [20 − (4 + 8)] = 2 × [20 − 12] = 2 × 8 = 16
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(5 + 3 + 3) × 4 = (8 + 3) × 4 = 11 × 4 = 44
8 × (4 + 6) + 3 = 8 × 10 + 3 = 80 + 3 = 83
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 20 × 11 = 20 × (10 + 1) = 20 × 10 + 20 × 1 = 200 + 20 = 220
F = 8 × 71 × 125 = 8 × 125 × 71 = 1 000 × 71 = 71 000
G = 18 × 58 + 18 × 42 = 18 × (58 + 42) = 18 × 100 = 1 800
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 12 × 12 = 12² 6 × 6 × 6 = 6³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 102 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 102 < 121 = 11²)
121 = 11² : carré 126 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 126 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 4 = 3 × 36 − 4 = 108 − 4 = 104
B = (3 × 6)² − 4 = 18² − 4 = 324 − 4 = 320
C = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
D = (6 + 3)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 6 : (n + 8)² = (6 + 8)² = 14² = 196
Pour n = 0,5 : (n + 8)² = (0,5 + 8)² = 8,5² = 72,25
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 67 :
8² = 64 ≤ 67 et 9² = 81 > 67.
a) Elle mettra 8 dalles sur chaque côté.
67 − 64 = 3
b) Il lui restera 3 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 5 et 23. » → encore 17 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 9, 16.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.