Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (36 + 48) ÷ 6 = 84 ÷ 6 = 14
B = 36 + 48 ÷ 6 = 36 + 8 = 44
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (3 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 1.
D = 14 − 2 × 6 est une différence : c'est la différence entre 14 et le produit de 2 par 6.
E = 4 + 35 ÷ 5 est une somme : c'est la somme de 4 et du quotient de 35 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 74 = 592 ≤ 598 < 600 = 8 × 75 : le quotient est 74, le reste 598 − 592 = 6.
598 = 8 × 74 + 6, avec 6 < 8.
17 × 32 = 544 ≤ 551 < 561 = 17 × 33 : le quotient est 32, le reste 551 − 544 = 7.
551 = 17 × 32 + 7, avec 7 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 296 = 14 × 22 − 12 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 296 = 14 × 20 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(c) 296 = 14 × 21 + 2 : le reste 2 est bien inférieur à 14. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 21, reste 2.
Comme 2 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 296 par 21 : quotient 14, reste 2.
3. 87 = 7 × 12 + 3
a) 87 jours font 12 semaines complètes et 3 jours.
Après 12 semaines complètes, on est de nouveau vendredi. Il reste à avancer de 3 jours : vendredi → samedi → dimanche → lundi.
b) Dans 87 jours, nous serons lundi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 507 | non | oui | non | non | non |
| 325 | non | non | oui | non | non |
| 9 278 | oui | non | non | non | non |
| 9 140 | oui | non | oui | non | oui |
| 4 401 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
507 → 5 + 0 + 7 = 12 325 → 3 + 2 + 5 = 10 9 278 → 9 + 2 + 7 + 8 = 26
9 140 → 9 + 1 + 4 + 0 = 14 4 401 → 4 + 4 + 0 + 1 = 9
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 2 + 8 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 285.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 43 se termine par 3, mais 43 = 3 × 14 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 3 est un diviseur de 60. » Vrai. 60 = 3 × 20 : le reste de la division de 60 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 88 − 5 × 2 = 88 − 10 = 78
B = 15 + 63 ÷ 9 × 4 = 15 + 7 × 4 = 15 + 28 = 43
C = 55 − 5 × (16 − 8) = 55 − 5 × 8 = 55 − 40 = 15
D = 5,9 + 3 × 0,5 = 5,9 + 1,5 = 7,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 − (5 + 8 − 9) = 7 − (13 − 9) = 7 − 4 = 3
(8 + 7) × 4 − 7 = 15 × 4 − 7 = 60 − 7 = 53
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 43 × 23 + 43 × 77 = 43 × (23 + 77) = 43 × 100 = 4 300
F = 38 × 9 = 38 × (10 − 1) = 38 × 10 − 38 × 1 = 380 − 38 = 342
G = 5 × 89 × 20 = 5 × 20 × 89 = 100 × 89 = 8 900
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 1,1 × 1,1 = 1,1² 8 × 8 = 8²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 12² = 12 × 12 = 144 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 4² + 5² = 16 + 25 = 41, qui n'est le carré d'aucun entier (6² = 36 et 7² = 49). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 52 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 52 < 64 = 8²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 101 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 101 < 121 = 11²)
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 6² − 3 = 3 × 36 − 3 = 108 − 3 = 105
B = (3 × 6)² − 3 = 18² − 3 = 324 − 3 = 321
C = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
D = (4 + 5)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 5x² − 8 = 5 × 5² − 8 = 5 × 25 − 8 = 125 − 8 = 117
B = (5x)² − 8 = (5 × 5)² − 8 = 25² − 8 = 625 − 8 = 617
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 5x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 900 : 30 × 30 = 900, c'est-à-dire 30² = 900.
a) Le côté mesure 30 m.
4 × 30 = 120
b) Le périmètre est de 120 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 22. » → encore 20 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 4, 9, 16.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 4, 16.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 16.
Le nombre mystère est 16 (16 = 4²).
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