Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (21 − 3) × 5 = 18 × 5 = 90
B = 21 − 3 × 5 = 21 − 15 = 6
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × 2² − 18 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 2 et 18.
D = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
E = (10 + 6) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 10 et 6 par 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 86 = 774 ≤ 778 < 783 = 9 × 87 : le quotient est 86, le reste 778 − 774 = 4.
778 = 9 × 86 + 4, avec 4 < 9.
22 × 33 = 726 ≤ 732 < 748 = 22 × 34 : le quotient est 33, le reste 732 − 726 = 6.
732 = 22 × 33 + 6, avec 6 < 22.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 311 = 10 × 30 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
(b) 311 = 10 × 31 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 311 = 10 × 32 − 9 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 31, reste 1.
Comme 1 < 31 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 311 par 31 : quotient 10, reste 1.
3. 108 = 5 × 21 + 3, avec 3 < 5
a) Chaque joueur reçoit 21 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 5 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 448 | oui | non | non | non | non |
| 177 | non | oui | non | non | non |
| 5 400 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 1 683 | non | oui | non | oui | non |
| 625 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
9 448 → 9 + 4 + 4 + 8 = 25 177 → 1 + 7 + 7 = 15 5 400 → 5 + 4 + 0 + 0 = 9
1 683 → 1 + 6 + 8 + 3 = 18 625 → 6 + 2 + 5 = 13
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 8 + 9 + □ = 17 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 21
Une seule solution : 894.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 3 est un diviseur de 81. » Vrai. 81 = 3 × 27 : le reste de la division de 81 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 77 − 2 × 6 = 77 − 12 = 65
B = 81 ÷ 9 × 3 = 9 × 3 = 27
C = (10 + 6) × 5 − 7 = 16 × 5 − 7 = 80 − 7 = 73
D = [5 + 4 × (9 − 5)] ÷ 2 = [5 + 4 × 4] ÷ 2 = [5 + 16] ÷ 2 = 21 ÷ 2 = 10,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 + 8 × (2 + 5) = 2 + 8 × 7 = 2 + 56 = 58
8 − (4 − 2) + 4 = 8 − 2 + 4 = 6 + 4 = 10
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 44 + 7,8 + 56 = 44 + 56 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
F = 23 × 11 = 23 × (10 + 1) = 23 × 10 + 23 × 1 = 230 + 23 = 253
G = 32 × 39 + 32 × 61 = 32 × (39 + 61) = 32 × 100 = 3 200
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 3 × 3 × 3 = 3³ 7 × 7 = 7²
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 32 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 32 < 36 = 6²)
52 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 52 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
81 = 9² : carré 100 = 10² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 8 = 5 × 36 − 8 = 180 − 8 = 172
B = (5 × 6)² − 8 = 30² − 8 = 900 − 8 = 892
C = 1² + 4² = 1 + 16 = 17
D = (1 + 4)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 3x² − 5 = 3 × 2² − 5 = 3 × 4 − 5 = 12 − 5 = 7
B = (3x)² − 5 = (3 × 2)² − 5 = 6² − 5 = 36 − 5 = 31
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 3x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 20 = 5 : il y a 5 carreaux par mètre.
4 × 5 = 20
a) Il faut 20 carreaux le long d'un côté.
20 rangées de 20 carreaux : 20² = 20 × 20 = 400
b) Il faut 400 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 84 et 129. » → encore 44 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 121.
Le nombre mystère est 121 (121 = 11²).
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