Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 7² + 1² = 49 + 1 = 50
B = (7 + 1)² = 8² = 64
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
D = 2 × (6 − 5) est un produit : c'est le produit de 2 par la différence entre 6 et 5.
E = (6 + 39) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 6 et 39 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 70 = 420 ≤ 422 < 426 = 6 × 71 : le quotient est 70, le reste 422 − 420 = 2.
422 = 6 × 70 + 2, avec 2 < 6.
28 × 27 = 756 ≤ 773 < 784 = 28 × 28 : le quotient est 27, le reste 773 − 756 = 17.
773 = 28 × 27 + 17, avec 17 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 111 = 8 × 12 + 15 : le « reste » 15 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(b) 111 = 8 × 13 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 8. ✔
(c) 111 = 8 × 14 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 13, reste 7.
Comme 7 < 13 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 111 par 13 : quotient 8, reste 7.
3. 52 = 6 × 8 + 4, avec 4 < 6
a) Chaque joueur reçoit 8 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 6 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 888 | oui | non | non | non | non |
| 655 | non | non | oui | non | non |
| 111 | non | oui | non | non | non |
| 3 069 | non | oui | non | oui | non |
| 4 960 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
7 888 → 7 + 8 + 8 + 8 = 31 655 → 6 + 5 + 5 = 16 111 → 1 + 1 + 1 = 3
3 069 → 3 + 0 + 6 + 9 = 18 4 960 → 4 + 9 + 6 + 0 = 19
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 1 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 8 : 18
Une seule solution : 981.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 180 est un multiple de 6. » Vrai. 180 = 6 × 30 : le reste de la division de 180 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 25 + 8 × 7 = 25 + 56 = 81
B = 40 ÷ 5 × 3 = 8 × 3 = 24
C = 91 − 2 × (11 − 3) = 91 − 2 × 8 = 91 − 16 = 75
D = 3 × [25 − (2 + 6)] = 3 × [25 − 8] = 3 × 17 = 51
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 2) × 4 − 5 = 4 × 4 − 5 = 16 − 5 = 11
9 × (9 − 8) × 3 = 9 × 1 × 3 = 9 × 3 = 27
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 3,6 × 0,4 + 3,6 × 0,6 = 3,6 × (0,4 + 0,6) = 3,6 × 1 = 3,6
F = 47 × 99 = 47 × (100 − 1) = 47 × 100 − 47 × 1 = 4 700 − 47 = 4 653
G = 22 + 3,45 + 78 = 22 + 78 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 8 × 8 = 8² 1,1 × 1,1 = 1,1²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (4 + 5)² = 4² + 5² » Faux. (4 + 5)² = 9² = 81, alors que 4² + 5² = 16 + 25 = 41.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 36 = 6² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 91 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 91 < 100 = 10²)
110 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 110 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 3 = 4 × 4 − 3 = 16 − 3 = 13
B = (4 × 2)² − 3 = 8² − 3 = 64 − 3 = 61
C = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
D = (3 + 4)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 4 : n² − 2n + 3 = 4² − 2 × 4 + 3 = 16 − 2 × 4 + 3 = 16 − 8 + 3 = 8 + 3 = 11
Pour n = 10 : n² − 2n + 3 = 10² − 2 × 10 + 3 = 100 − 2 × 10 + 3 = 100 − 20 + 3 = 80 + 3 = 83
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 8 petits cubes sur 8 : 8² = 8 × 8 = 64.
a) On voit 64 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 8 couches de 64 petits cubes : 8³ = 8 × 8 × 8 = 512.
b) Il a utilisé 512 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 8 − 2 = 6 petits cubes d'arête. 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
c) 216 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 110 et 161. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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