Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (19 − 5) × 3 = 14 × 3 = 42
B = 19 − 5 × 3 = 19 − 15 = 4
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 × 7² − 9 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 7 et 9.
D = 2 × 5² est un produit : c'est le double du carré de 5.
E = (4 + 6) ÷ 5 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 4 et 6 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 101 = 606 ≤ 609 < 612 = 6 × 102 : le quotient est 101, le reste 609 − 606 = 3.
609 = 6 × 101 + 3, avec 3 < 6.
26 × 20 = 520 ≤ 542 < 546 = 26 × 21 : le quotient est 20, le reste 542 − 520 = 22.
542 = 26 × 20 + 22, avec 22 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 136 = 7 × 20 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 136 = 7 × 19 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 136 = 7 × 18 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 19, reste 3.
Comme 3 < 19 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 136 par 19 : quotient 7, reste 3.
3. 82 = 6 × 13 + 4, avec 4 < 6
a) Elle remplit 13 boîtes pleines.
b) Il reste 4 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 935 | non | non | oui | non | non |
| 7 138 | oui | non | non | non | non |
| 5 520 | oui | oui | oui | non | oui |
| 3 771 | non | oui | non | oui | non |
| 291 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
935 → 9 + 3 + 5 = 17 7 138 → 7 + 1 + 3 + 8 = 19 5 520 → 5 + 5 + 2 + 0 = 12
3 771 → 3 + 7 + 7 + 1 = 18 291 → 2 + 9 + 1 = 12
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 3 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 12
Une seule solution : 435.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 34 est pair mais 34 = 3 × 11 + 1.
« 258 est un multiple de 9. » Faux. 258 = 9 × 28 + 6 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 70 − 5 × 4 = 70 − 20 = 50
B = 10 ÷ 5 × 4 = 2 × 4 = 8
C = 53 − 2 × (20 − 7) = 53 − 2 × 13 = 53 − 26 = 27
D = [3 + 6 × (7 − 4)] ÷ 2 = [3 + 6 × 3] ÷ 2 = [3 + 18] ÷ 2 = 21 ÷ 2 = 10,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × 9 − (8 − 7) = 2 × 9 − 1 = 18 − 1 = 17
7 + 4 × (6 + 2) = 7 + 4 × 8 = 7 + 32 = 39
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 42 × 125 = 8 × 125 × 42 = 1 000 × 42 = 42 000
F = 46 × 24 − 46 × 14 = 46 × (24 − 14) = 46 × 10 = 460
G = 35 × 99 = 35 × (100 − 1) = 35 × 100 − 35 × 1 = 3 500 − 35 = 3 465
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 0,7 × 0,7 = 0,7² 9 × 9 = 9²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « (4 + 1)² = 4² + 1² » Faux. (4 + 1)² = 5² = 25, alors que 4² + 1² = 16 + 1 = 17.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 36 = 6² : carré
62 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 62 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
121 = 11² : carré 149 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 149 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 7 = 4 × 4 − 7 = 16 − 7 = 9
B = (4 × 2)² − 7 = 8² − 7 = 64 − 7 = 57
C = 4² + 1² = 16 + 1 = 17
D = (4 + 1)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 3 : x³ + 6 = 3³ + 6 = 27 + 6 = 33
Pour x = 10 : x³ + 6 = 10³ + 6 = 1 000 + 6 = 1 006
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 8 petits cubes sur 8 : 8² = 8 × 8 = 64.
a) On voit 64 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 8 couches de 64 petits cubes : 8³ = 8 × 8 × 8 = 512.
b) Il a utilisé 512 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 8 − 2 = 6 petits cubes d'arête. 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
c) 216 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 34 et 77. » → encore 42 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 49, 64.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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