Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (10 + 7) × 8 = 17 × 8 = 136
B = 10 + 7 × 8 = 10 + 56 = 66
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 16 − 4 × 2 est une différence : c'est la différence entre 16 et le produit de 4 par 2.
D = (7 + 9) ÷ 2 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 7 et 9 par 2.
E = (10 + 7) × 9 est un produit : c'est le produit de la somme de 10 et 7 par 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 190 = 950 ≤ 952 < 955 = 5 × 191 : le quotient est 190, le reste 952 − 950 = 2.
952 = 5 × 190 + 2, avec 2 < 5.
20 × 77 = 1 540 ≤ 1 548 < 1 560 = 20 × 78 : le quotient est 77, le reste 1 548 − 1 540 = 8.
1 548 = 20 × 77 + 8, avec 8 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 86 = 9 × 10 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 86 = 9 × 8 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 86 = 9 × 9 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 9. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 9, reste 5.
Comme 5 < 9 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 86 par 9 : quotient 9, reste 5.
3. 37 = 9 × 4 + 1
4 minibus pleins transportent 36 élèves ; il en reste 1 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 9 − 1 = 8 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 850 | oui | non | oui | non | oui |
| 215 | non | non | oui | non | non |
| 291 | non | oui | non | non | non |
| 1 462 | oui | non | non | non | non |
| 6 093 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
3 850 → 3 + 8 + 5 + 0 = 16 215 → 2 + 1 + 5 = 8 291 → 2 + 9 + 1 = 12
1 462 → 1 + 4 + 6 + 2 = 13 6 093 → 6 + 0 + 9 + 3 = 18
2. Somme des chiffres : 9 + □ + 0 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 0 : 9 ; □ = 9 : 18
2 solutions : 900, 990.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 288, somme des chiffres 18.
« 89 est un multiple de 6. » Faux. 89 = 6 × 14 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 11 + 8 × 8 = 11 + 64 = 75
B = 11 + 56 ÷ 8 × 2 = 11 + 7 × 2 = 11 + 14 = 25
C = 96 − 5 × (10 − 6) = 96 − 5 × 4 = 96 − 20 = 76
D = [5 + 9 × (9 − 3)] ÷ 5 = [5 + 9 × 6] ÷ 5 = [5 + 54] ÷ 5 = 59 ÷ 5 = 11,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × 3 − (7 + 2) = 4 × 3 − 9 = 12 − 9 = 3
9 × 4 − (9 + 8) = 9 × 4 − 17 = 36 − 17 = 19
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 41 + 12,6 + 59 = 41 + 59 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 3,6 × 0,4 + 3,6 × 0,6 = 3,6 × (0,4 + 0,6) = 3,6 × 1 = 3,6
G = 27 × 99 = 27 × (100 − 1) = 27 × 100 − 27 × 1 = 2 700 − 27 = 2 673
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 1,5 × 1,5 = 1,5² 12 × 12 = 12²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 25 = 5² : carré
36 = 6² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
111 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 111 < 121 = 11²) 149 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 149 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 7 = 2 × 4 − 7 = 8 − 7 = 1
B = (2 × 2)² − 7 = 4² − 7 = 16 − 7 = 9
C = 4² + 6² = 16 + 36 = 52
D = (4 + 6)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 2 : n² + 24 = 2² + 24 = 4 + 24 = 28 et 10n = 10 × 2 = 20.
28 ≠ 20 : l'égalité est fausse pour n = 2.
Pour n = 6 : n² + 24 = 6² + 24 = 36 + 24 = 60 et 10n = 10 × 6 = 60.
60 = 60 : l'égalité est vraie pour n = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 4, et seulement pour 6 et 4.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 400 : 20 × 20 = 400, c'est-à-dire 20² = 400.
a) Le côté mesure 20 m.
4 × 20 = 80
b) Le périmètre est de 80 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 157 et 231. » → encore 73 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 169, 196, 225.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 169, 196.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 196.
Le nombre mystère est 196 (196 = 14²).
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