Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (30 + 35) ÷ 5 = 65 ÷ 5 = 13
B = 30 + 35 ÷ 5 = 30 + 7 = 37
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 7² + 3² est une somme : c'est la somme des carrés de 7 et de 3.
D = (5 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 5 et 1.
E = 3 × 4² − 18 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 4 et 18.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 131 = 917 ≤ 921 < 924 = 7 × 132 : le quotient est 131, le reste 921 − 917 = 4.
921 = 7 × 131 + 4, avec 4 < 7.
17 × 97 = 1 649 ≤ 1 655 < 1 666 = 17 × 98 : le quotient est 97, le reste 1 655 − 1 649 = 6.
1 655 = 17 × 97 + 6, avec 6 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 222 = 14 × 14 + 26 : le « reste » 26 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(b) 222 = 14 × 15 + 12 : le reste 12 est bien inférieur à 14. ✔
(c) 222 = 14 × 16 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 15, reste 12.
Comme 12 < 15 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 222 par 15 : quotient 14, reste 12.
3. 71 = 7 × 10 + 1
a) 71 jours font 10 semaines complètes et 1 jour.
Après 10 semaines complètes, on est de nouveau jeudi. Il reste à avancer de 1 jour : jeudi → vendredi.
b) Dans 71 jours, nous serons vendredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 7 864 | oui | non | non | non | non |
| 265 | non | non | oui | non | non |
| 417 | non | oui | non | non | non |
| 3 470 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 039 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
7 864 → 7 + 8 + 6 + 4 = 25 265 → 2 + 6 + 5 = 13 417 → 4 + 1 + 7 = 12
3 470 → 3 + 4 + 7 + 0 = 14 6 039 → 6 + 0 + 3 + 9 = 18
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 2 + 8 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 15
Une seule solution : 285.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 594, somme des chiffres 18.
« 86 est un multiple de 5. » Faux. 86 = 5 × 17 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 76 − 6 × 8 = 76 − 48 = 28
B = 28 ÷ 7 × 3 = 4 × 3 = 12
C = (5 × 5 − 3) ÷ 2 = (25 − 3) ÷ 2 = 22 ÷ 2 = 11
D = 7,6 + 5 × 1,2 = 7,6 + 6 = 13,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
6 + (3 − 2) × 2 = 6 + 1 × 2 = 6 + 2 = 8
(5 × 3 + 2) × 9 = (15 + 2) × 9 = 17 × 9 = 153
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 17 × 99 = 17 × (100 − 1) = 17 × 100 − 17 × 1 = 1 700 − 17 = 1 683
F = 81 + 7,8 + 19 = 81 + 19 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 2,7 × 1,3 + 2,7 × 8,7 = 2,7 × (1,3 + 8,7) = 2,7 × 10 = 27
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 2 × 2 × 2 = 2³ 9 × 9 = 9²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
49 = 7² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
73 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 73 < 81 = 9²) 75 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 75 < 81 = 9²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 3 = 5 × 16 − 3 = 80 − 3 = 77
B = (5 × 4)² − 3 = 20² − 3 = 400 − 3 = 397
C = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
D = (2 + 5)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 2 : n² + 6 = 2² + 6 = 4 + 6 = 10 et 5n = 5 × 2 = 10.
10 = 10 : l'égalité est vraie pour n = 2.
Pour n = 1 : n² + 6 = 1² + 6 = 1 + 6 = 7 et 5n = 5 × 1 = 5.
7 ≠ 5 : l'égalité est fausse pour n = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 3, et seulement pour 2 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 138 :
11² = 121 ≤ 138 et 12² = 144 > 138.
a) Elle mettra 11 dalles sur chaque côté.
138 − 121 = 17
b) Il lui restera 17 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 129 et 183. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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