Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (12 + 15) ÷ 3 = 27 ÷ 3 = 9
B = 12 + 15 ÷ 3 = 12 + 5 = 17
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 2) ÷ 2 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 2 et 2 par 2.
D = (10 + 6) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 10 et 6 par 8.
E = 27 − 5 × 3 est une différence : c'est la différence entre 27 et le produit de 5 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 71 = 568 ≤ 575 < 576 = 8 × 72 : le quotient est 71, le reste 575 − 568 = 7.
575 = 8 × 71 + 7, avec 7 < 8.
28 × 48 = 1 344 ≤ 1 371 < 1 372 = 28 × 49 : le quotient est 48, le reste 1 371 − 1 344 = 27.
1 371 = 28 × 48 + 27, avec 27 < 28.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 212 = 12 × 18 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 212 = 12 × 16 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 212 = 12 × 17 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 12. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 17, reste 8.
Comme 8 < 17 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 212 par 17 : quotient 12, reste 8.
3. 137 = 6 × 22 + 5, avec 5 < 6
a) Elle remplit 22 boîtes pleines.
b) Il reste 5 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 9 351 | non | oui | non | oui | non |
| 1 768 | oui | non | non | non | non |
| 237 | non | oui | non | non | non |
| 6 380 | oui | non | oui | non | oui |
| 175 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
9 351 → 9 + 3 + 5 + 1 = 18 1 768 → 1 + 7 + 6 + 8 = 22 237 → 2 + 3 + 7 = 12
6 380 → 6 + 3 + 8 + 0 = 17 175 → 1 + 7 + 5 = 13
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 4 + 8 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12
Une seule solution : 480.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 75 est divisible par 3 (75 = 3 × 25) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 8 est un diviseur de 184. » Vrai. 184 = 8 × 23 : le reste de la division de 184 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 29 + 9 × 3 = 29 + 27 = 56
B = 8 × 8 − 6 × 2 = 64 − 12 = 52
C = (5 × 3 − 7) ÷ 2 = (15 − 7) ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4
D = 5 × [33 − (9 + 4)] = 5 × [33 − 13] = 5 × 20 = 100
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 + 3 + 7) × 3 = (12 + 7) × 3 = 19 × 3 = 57
5 + 9 × (9 − 9) = 5 + 9 × 0 = 5 + 0 = 5
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 48 × 50 = 2 × 50 × 48 = 100 × 48 = 4 800
F = 41 × 99 = 41 × (100 − 1) = 41 × 100 − 41 × 1 = 4 100 − 41 = 4 059
G = 22 × 70 + 22 × 30 = 22 × (70 + 30) = 22 × 100 = 2 200
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 5 × 5 = 5²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 12² = 12 × 12 = 144 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 3² = 1 + 9 = 10, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 27 = 3³ : cube
83 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 83 < 100 = 10²) 100 = 10² : carré
111 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 111 < 121 = 11²) 150 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 150 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 7 = 2 × 16 − 7 = 32 − 7 = 25
B = (2 × 4)² − 7 = 8² − 7 = 64 − 7 = 57
C = 2² + 7² = 4 + 49 = 53
D = (2 + 7)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 6 : x² + 6 = 6² + 6 = 36 + 6 = 42 et 7x = 7 × 6 = 42.
42 = 42 : l'égalité est vraie pour x = 6.
Pour x = 4 : x² + 6 = 4² + 6 = 16 + 6 = 22 et 7x = 7 × 4 = 28.
22 ≠ 28 : l'égalité est fausse pour x = 4.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 1, et seulement pour 6 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 5 petits cubes sur 5 : 5² = 5 × 5 = 25.
a) On voit 25 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 5 couches de 25 petits cubes : 5³ = 5 × 5 × 5 = 125.
b) Il a utilisé 125 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 5 − 2 = 3 petits cubes d'arête. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
c) 27 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 44 et 90. » → encore 45 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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