Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 13 + 5 × 5 = 13 + 25 = 38
B = (13 + 5) × 5 = 18 × 5 = 90
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (4 + 5)² est un carré : c'est le carré de la somme de 4 et 5.
D = 4 + 12 ÷ 2 est une somme : c'est la somme de 4 et du quotient de 12 par 2.
E = 6² − 27 est une différence : c'est la différence entre le carré de 6 et 27.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 330 = 990 ≤ 992 < 993 = 3 × 331 : le quotient est 330, le reste 992 − 990 = 2.
992 = 3 × 330 + 2, avec 2 < 3.
11 × 108 = 1 188 ≤ 1 193 < 1 199 = 11 × 109 : le quotient est 108, le reste 1 193 − 1 188 = 5.
1 193 = 11 × 108 + 5, avec 5 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 321 = 8 × 39 + 9 : le « reste » 9 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
(b) 321 = 8 × 40 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 8. ✔
(c) 321 = 8 × 41 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 40, reste 1.
Comme 1 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 321 par 40 : quotient 8, reste 1.
3. 189 = 25 × 7 + 14
En 7 soirs, elle lit 175 pages ; il lui en reste encore 14.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 14 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 007 | non | oui | non | oui | non |
| 895 | non | non | oui | non | non |
| 6 540 | oui | oui | oui | non | oui |
| 807 | non | oui | non | non | non |
| 8 998 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
2 007 → 2 + 0 + 0 + 7 = 9 895 → 8 + 9 + 5 = 22 6 540 → 6 + 5 + 4 + 0 = 15
807 → 8 + 0 + 7 = 15 8 998 → 8 + 9 + 9 + 8 = 34
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 6 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 765.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 52 est pair mais 52 = 3 × 17 + 1.
« 163 est un multiple de 6. » Faux. 163 = 6 × 27 + 1 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 48 − 5 × 8 = 48 − 40 = 8
B = 8 ÷ 4 × 3 = 2 × 3 = 6
C = (4 + 9) × 2 − 11 = 13 × 2 − 11 = 26 − 11 = 15
D = 8,8 + 3 × 0,2 = 8,8 + 0,6 = 9,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 × (6 − 2 + 7) = 9 × (4 + 7) = 9 × 11 = 99
4 + (5 + 5) × 7 = 4 + 10 × 7 = 4 + 70 = 74
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 61 + 12,6 + 39 = 61 + 39 + 12,6 = 100 + 12,6 = 112,6
F = 22 × 11 = 22 × (10 + 1) = 22 × 10 + 22 × 1 = 220 + 22 = 242
G = 24 × 41 − 24 × 31 = 24 × (41 − 31) = 24 × 10 = 240
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 12 × 12 = 12² 1,1 × 1,1 = 1,1²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 11² = 11 × 11 = 121 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 4² = 1 + 16 = 17, qui n'est le carré d'aucun entier (4² = 16 et 5² = 25). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 36 = 6² : carré
45 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 45 < 49 = 7²) 60 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 60 < 64 = 8²)
65 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 65 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 2 = 5 × 4 − 2 = 20 − 2 = 18
B = (5 × 2)² − 2 = 10² − 2 = 100 − 2 = 98
C = 6² + 7² = 36 + 49 = 85
D = (6 + 7)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 1 = 2 × 3² − 1 = 2 × 9 − 1 = 18 − 1 = 17
B = (2x)² − 1 = (2 × 3)² − 1 = 6² − 1 = 36 − 1 = 35
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 30³ = 30 × 30 × 30 = 27 000
a) Le volume est de 27 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
27 000 ÷ 1 000 = 27
b) L'aquarium contient 27 litres.
Autre façon de voir : 30 cm, c'est 3 fois 10 cm ; on range 3 × 3 × 3 = 27 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 28 et 73. » → encore 44 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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