Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (54 + 24) ÷ 6 = 78 ÷ 6 = 13
B = 54 + 24 ÷ 6 = 54 + 4 = 58
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2 × 8² est un produit : c'est le double du carré de 8.
D = 3 + 7 × 4 est une somme : c'est la somme de 3 et du produit de 7 par 4.
E = 17 − 2 × 7 est une différence : c'est la différence entre 17 et le produit de 2 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 108 = 648 ≤ 653 < 654 = 6 × 109 : le quotient est 108, le reste 653 − 648 = 5.
653 = 6 × 108 + 5, avec 5 < 6.
13 × 186 = 2 418 ≤ 2 428 < 2 431 = 13 × 187 : le quotient est 186, le reste 2 428 − 2 418 = 10.
2 428 = 13 × 186 + 10, avec 10 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 363 = 10 × 37 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 363 = 10 × 36 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 363 = 10 × 35 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 36, reste 3.
Comme 3 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 363 par 36 : quotient 10, reste 3.
3. 81 = 12 × 6 + 9
6 minibus pleins transportent 72 élèves ; il en reste 9 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 6 + 1 = 7 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 12 − 9 = 3 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 501 | non | oui | non | non | non |
| 365 | non | non | oui | non | non |
| 1 570 | oui | non | oui | non | oui |
| 6 898 | oui | non | non | non | non |
| 3 213 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
501 → 5 + 0 + 1 = 6 365 → 3 + 6 + 5 = 14 1 570 → 1 + 5 + 7 + 0 = 13
6 898 → 6 + 8 + 9 + 8 = 31 3 213 → 3 + 2 + 1 + 3 = 9
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 5 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 9 ; □ = 4 : 12 ; □ = 7 : 15
3 solutions : 315, 345, 375.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 53 se termine par 3, mais 53 = 3 × 17 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 118 est un multiple de 4. » Faux. 118 = 4 × 29 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 18 + 3 × 3 = 18 + 9 = 27
B = 11 + 36 ÷ 9 × 3 = 11 + 4 × 3 = 11 + 12 = 23
C = (10 + 8) × 2 − 6 = 18 × 2 − 6 = 36 − 6 = 30
D = 3 × [31 − (2 + 7)] = 3 × [31 − 9] = 3 × 22 = 66
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × 2 − (8 + 5) = 8 × 2 − 13 = 16 − 13 = 3
6 + 6 − (6 + 2) = 6 + 6 − 8 = 12 − 8 = 4
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 17 × 15 + 17 × 85 = 17 × (15 + 85) = 17 × 100 = 1 700
F = 5 × 70 × 20 = 5 × 20 × 70 = 100 × 70 = 7 000
G = 35 × 11 = 35 × (10 + 1) = 35 × 10 + 35 × 1 = 350 + 35 = 385
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 5 × 5 = 5² 5 × 5 × 5 = 5³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 8² = 8 × 8 = 64 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (3 + 1)² = 3² + 1² » Faux. (3 + 1)² = 4² = 16, alors que 3² + 1² = 9 + 1 = 10.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
79 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 79 < 81 = 9²) 81 = 9² : carré
111 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 111 < 121 = 11²) 116 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 116 < 121 = 11²)
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 4 = 4 × 25 − 4 = 100 − 4 = 96
B = (4 × 5)² − 4 = 20² − 4 = 400 − 4 = 396
C = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
D = (3 + 1)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 5 = 3 × 4² − 5 = 3 × 16 − 5 = 48 − 5 = 43
B = (3a)² − 5 = (3 × 4)² − 5 = 12² − 5 = 144 − 5 = 139
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 8 petits cubes sur 8 : 8² = 8 × 8 = 64.
a) On voit 64 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 8 couches de 64 petits cubes : 8³ = 8 × 8 × 8 = 512.
b) Il a utilisé 512 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 8 − 2 = 6 petits cubes d'arête. 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
c) 216 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 26 et 80. » → encore 53 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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