Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 13 + 6 × 6 = 13 + 36 = 49
B = (13 + 6) × 6 = 19 × 6 = 114
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 32 − 4 × 7 est une différence : c'est la différence entre 32 et le produit de 4 par 7.
D = 13 + 9 ÷ 3 est une somme : c'est la somme de 13 et du quotient de 9 par 3.
E = 2 × 9² est un produit : c'est le double du carré de 9.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 18 = 162 ≤ 163 < 171 = 9 × 19 : le quotient est 18, le reste 163 − 162 = 1.
163 = 9 × 18 + 1, avec 1 < 9.
20 × 21 = 420 ≤ 432 < 440 = 20 × 22 : le quotient est 21, le reste 432 − 420 = 12.
432 = 20 × 21 + 12, avec 12 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 174 = 11 × 14 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(b) 174 = 11 × 15 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 174 = 11 × 16 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 15, reste 9.
Comme 9 < 15 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 174 par 15 : quotient 11, reste 9.
3. 75 = 12 × 6 + 3
En 6 soirs, elle lit 72 pages ; il lui en reste encore 3.
a) Il lui faut 6 + 1 = 7 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 3 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 470 | oui | non | oui | non | oui |
| 411 | non | oui | non | non | non |
| 325 | non | non | oui | non | non |
| 6 147 | non | oui | non | oui | non |
| 9 328 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
6 470 → 6 + 4 + 7 + 0 = 17 411 → 4 + 1 + 1 = 6 325 → 3 + 2 + 5 = 10
6 147 → 6 + 1 + 4 + 7 = 18 9 328 → 9 + 3 + 2 + 8 = 22
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 3 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 5 : 12 ; □ = 8 : 15
3 solutions : 423, 453, 483.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 216, somme des chiffres 9.
« 213 est un multiple de 8. » Faux. 213 = 8 × 26 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 15 + 3 × 4 = 15 + 12 = 27
B = 9 × 4 − 2 × 5 = 36 − 10 = 26
C = 54 − 5 × (18 − 8) = 54 − 5 × 10 = 54 − 50 = 4
D = [7 + 8 × (7 − 4)] ÷ 2 = [7 + 8 × 3] ÷ 2 = [7 + 24] ÷ 2 = 31 ÷ 2 = 15,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(2 + 3 + 6) × 9 = (5 + 6) × 9 = 11 × 9 = 99
4 + 8 × (9 + 6) = 4 + 8 × 15 = 4 + 120 = 124
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2,7 × 0,8 + 2,7 × 0,2 = 2,7 × (0,8 + 0,2) = 2,7 × 1 = 2,7
F = 14 × 9 = 14 × (10 − 1) = 14 × 10 − 14 × 1 = 140 − 14 = 126
G = 60 + 0,75 + 40 = 60 + 40 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 4 × 4 = 4² 6 × 6 × 6 = 6³
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 10² = 10 × 10 = 100 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 4 × 3² = 12² » Faux. 4 × 3² = 4 × 9 = 36, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 3.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 36 = 6² : carré
45 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 45 < 49 = 7²) 83 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 83 < 100 = 10²)
139 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 139 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 3² − 7 = 5 × 9 − 7 = 45 − 7 = 38
B = (5 × 3)² − 7 = 15² − 7 = 225 − 7 = 218
C = 6² + 5² = 36 + 25 = 61
D = (6 + 5)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 3 : 7n² = 7 × 3² = 7 × 9 = 63
Pour n = 10 : 7n² = 7 × 10² = 7 × 100 = 700
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 144 : 12 × 12 = 144, c'est-à-dire 12² = 144.
a) Le côté mesure 12 m.
4 × 12 = 48
b) Le périmètre est de 48 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 110 et 178. » → encore 67 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144, 169.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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