Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 + 8 × 3 = 2 + 24 = 26
B = (2 + 8) × 3 = 10 × 3 = 30
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
D = (41 + 23) ÷ 8 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 41 et 23 par 8.
E = (1 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 6 × 129 = 774 ≤ 777 < 780 = 6 × 130 : le quotient est 129, le reste 777 − 774 = 3.
777 = 6 × 129 + 3, avec 3 < 6.
26 × 78 = 2 028 ≤ 2 052 < 2 054 = 26 × 79 : le quotient est 78, le reste 2 052 − 2 028 = 24.
2 052 = 26 × 78 + 24, avec 24 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 179 = 10 × 18 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 179 = 10 × 17 + 9 : le reste 9 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 179 = 10 × 16 + 19 : le « reste » 19 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 17, reste 9.
Comme 9 < 17 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 179 par 17 : quotient 10, reste 9.
3. 182 = 12 × 15 + 2, avec 2 < 12
a) Elle remplit 15 boîtes pleines.
b) Il reste 2 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 580 | oui | non | oui | non | oui |
| 501 | non | oui | non | non | non |
| 1 388 | oui | non | non | non | non |
| 3 429 | non | oui | non | oui | non |
| 535 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
3 580 → 3 + 5 + 8 + 0 = 16 501 → 5 + 0 + 1 = 6 1 388 → 1 + 3 + 8 + 8 = 20
3 429 → 3 + 4 + 2 + 9 = 18 535 → 5 + 3 + 5 = 13
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 7 + 9 + □ = 16 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 5 : 21
Une seule solution : 795.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 8 est un diviseur de 224. » Vrai. 224 = 8 × 28 : le reste de la division de 224 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 35 − 9 + 2 = 26 + 2 = 28
B = 8 × 6 − 5 × 5 = 48 − 25 = 23
C = (7 × 9 − 1) ÷ 4 = (63 − 1) ÷ 4 = 62 ÷ 4 = 15,5
D = 1,6 + 6 × 1,2 = 1,6 + 7,2 = 8,8
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 + 2 − (5 − 3) = 7 + 2 − 2 = 9 − 2 = 7
4 + (6 − 2) × 4 = 4 + 4 × 4 = 4 + 16 = 20
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 44 × 56 − 44 × 46 = 44 × (56 − 46) = 44 × 10 = 440
F = 2 × 44 × 50 = 2 × 50 × 44 = 100 × 44 = 4 400
G = 40 × 11 = 40 × (10 + 1) = 40 × 10 + 40 × 1 = 400 + 40 = 440
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 = 4² 1,5 × 1,5 = 1,5² 2 × 2 × 2 = 2³
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 6² = 6 × 6 = 36 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « (2 + 3)² = 2² + 3² » Faux. (2 + 3)² = 5² = 25, alors que 2² + 3² = 4 + 9 = 13.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 6² = 12 » Faux. 6² = 6 × 6 = 36. L'exposant ne multiplie pas : 6 × 2 = 12, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 47 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 47 < 49 = 7²)
49 = 7² : carré 101 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 101 < 121 = 11²)
126 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 126 < 144 = 12²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 2 = 4 × 36 − 2 = 144 − 2 = 142
B = (4 × 6)² − 2 = 24² − 2 = 576 − 2 = 574
C = 3² + 7² = 9 + 49 = 58
D = (3 + 7)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 2 : n³ + 4 = 2³ + 4 = 8 + 4 = 12
Pour n = 10 : n³ + 4 = 10³ + 4 = 1 000 + 4 = 1 004
Exercice 7 — Correction
1. V = 40³ = 40 × 40 × 40 = 64 000
a) Le volume est de 64 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
64 000 ÷ 1 000 = 64
b) L'aquarium contient 64 litres.
Autre façon de voir : 40 cm, c'est 4 fois 10 cm ; on range 4 × 4 × 4 = 64 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 57. » → encore 55 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
Casio Calculatrice Scolaire FX-92 collège classwiz
Partager :
🔑 Accéder à une fiche par son code
Demande le code à ton professeur.
Exemples : PYTH0123, PMDE161842, SOMP0042.