Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (6 + 5)² = 11² = 121
B = 6² + 5² = 36 + 25 = 61
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9 × (7 − 3) est un produit : c'est le produit de 9 par la différence entre 7 et 3.
D = (2 × 6)² est un carré : c'est le carré du double de 6.
E = 2 × 2² − 6 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 2 et 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 139 = 695 ≤ 696 < 700 = 5 × 140 : le quotient est 139, le reste 696 − 695 = 1.
696 = 5 × 139 + 1, avec 1 < 5.
17 × 134 = 2 278 ≤ 2 284 < 2 295 = 17 × 135 : le quotient est 134, le reste 2 284 − 2 278 = 6.
2 284 = 17 × 134 + 6, avec 6 < 17.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 603 = 15 × 40 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 603 = 15 × 41 − 12 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 603 = 15 × 39 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 40, reste 3.
Comme 3 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 603 par 40 : quotient 15, reste 3.
3. 296 = 7 × 42 + 2
a) 296 jours font 42 semaines complètes et 2 jours.
Après 42 semaines complètes, on est de nouveau mardi. Il reste à avancer de 2 jours : mardi → mercredi → jeudi.
b) Dans 296 jours, nous serons jeudi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 921 | non | oui | non | non | non |
| 395 | non | non | oui | non | non |
| 8 254 | oui | non | non | non | non |
| 5 391 | non | oui | non | oui | non |
| 9 110 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
921 → 9 + 2 + 1 = 12 395 → 3 + 9 + 5 = 17 8 254 → 8 + 2 + 5 + 4 = 19
5 391 → 5 + 3 + 9 + 1 = 18 9 110 → 9 + 1 + 1 + 0 = 11
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 7 + 5 + □ = 12 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 12 ; □ = 6 : 18
2 solutions : 750, 756.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 8 est un diviseur de 136. » Vrai. 136 = 8 × 17 : le reste de la division de 136 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 24 + 4 × 3 = 24 + 12 = 36
B = 3 × 9 − 2 × 3 = 27 − 6 = 21
C = 92 − 4 × (11 − 9) = 92 − 4 × 2 = 92 − 8 = 84
D = 3 × [20 − (4 + 9)] = 3 × [20 − 13] = 3 × 7 = 21
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (6 + 6 − 8) = 7 × (12 − 8) = 7 × 4 = 28
9 × (3 + 3 − 6) = 9 × (6 − 6) = 9 × 0 = 0
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 0,4 + 4,5 × 0,6 = 4,5 × (0,4 + 0,6) = 4,5 × 1 = 4,5
F = 32 × 99 = 32 × (100 − 1) = 32 × 100 − 32 × 1 = 3 200 − 32 = 3 168
G = 60 + 7,8 + 40 = 60 + 40 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 12 × 12 = 12² 3 × 3 × 3 = 3³
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 11² = 11 × 11 = 121 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « (5 + 2)² = 5² + 2² » Faux. (5 + 2)² = 7² = 49, alors que 5² + 2² = 25 + 4 = 29.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 36 = 6² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 81 = 9² : carré
98 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 98 < 100 = 10²) 139 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 139 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 5² − 3 = 3 × 25 − 3 = 75 − 3 = 72
B = (3 × 5)² − 3 = 15² − 3 = 225 − 3 = 222
C = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
D = (3 + 4)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 4 : a² + 2a = 4² + 2 × 4 = 16 + 2 × 4 = 16 + 8 = 24
Pour a = 10 : a² + 2a = 10² + 2 × 10 = 100 + 2 × 10 = 100 + 20 = 120
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 25 = 4 : il y a 4 carreaux par mètre.
5 × 4 = 20
a) Il faut 20 carreaux le long d'un côté.
20 rangées de 20 carreaux : 20² = 20 × 20 = 400
b) Il faut 400 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 33 et 80. » → encore 46 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 36, 64.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 64.
Le nombre mystère est 64 (64 = 8² et 64 = 4³).
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