Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (7 + 1)² = 8² = 64
B = 7² + 1² = 49 + 1 = 50
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 2² + 3² est une somme : c'est la somme des carrés de 2 et de 3.
D = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
E = 22 − 2 × 6 est une différence : c'est la différence entre 22 et le produit de 2 par 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 44 = 176 ≤ 179 < 180 = 4 × 45 : le quotient est 44, le reste 179 − 176 = 3.
179 = 4 × 44 + 3, avec 3 < 4.
13 × 180 = 2 340 ≤ 2 348 < 2 353 = 13 × 181 : le quotient est 180, le reste 2 348 − 2 340 = 8.
2 348 = 13 × 180 + 8, avec 8 < 13.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 167 = 12 × 14 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 167 = 12 × 12 + 23 : le « reste » 23 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 167 = 12 × 13 + 11 : le reste 11 est bien inférieur à 12. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 13, reste 11.
Comme 11 < 13 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 167 par 13 : quotient 12, reste 11.
3. 315 = 30 × 10 + 15
En 10 soirs, elle lit 300 pages ; il lui en reste encore 15.
a) Il lui faut 10 + 1 = 11 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 15 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 773 | non | oui | non | oui | non |
| 215 | non | non | oui | non | non |
| 111 | non | oui | non | non | non |
| 7 170 | oui | oui | oui | non | oui |
| 7 736 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
1 773 → 1 + 7 + 7 + 3 = 18 215 → 2 + 1 + 5 = 8 111 → 1 + 1 + 1 = 3
7 170 → 7 + 1 + 7 + 0 = 15 7 736 → 7 + 7 + 3 + 6 = 23
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 3 = 4 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 5 : 9
Une seule solution : 153.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 747, somme des chiffres 18.
« 98 est un multiple de 7. » Vrai. 98 = 7 × 14 : le reste de la division de 98 par 7 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 48 − 2 + 10 = 46 + 10 = 56
B = 8 ÷ 4 × 4 = 2 × 4 = 8
C = (8 × 9 − 4) ÷ 4 = (72 − 4) ÷ 4 = 68 ÷ 4 = 17
D = [2 + 4 × (8 − 3)] ÷ 5 = [2 + 4 × 5] ÷ 5 = [2 + 20] ÷ 5 = 22 ÷ 5 = 4,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × (6 + 9) + 9 = 2 × 15 + 9 = 30 + 9 = 39
9 × (6 + 6) + 5 = 9 × 12 + 5 = 108 + 5 = 113
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 63 + 3,45 + 37 = 63 + 37 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
F = 28 × 101 = 28 × (100 + 1) = 28 × 100 + 28 × 1 = 2 800 + 28 = 2 828
G = 3,6 × 0,7 + 3,6 × 0,3 = 3,6 × (0,7 + 0,3) = 3,6 × 1 = 3,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 4 × 4 × 4 = 4³ 4 × 4 = 4² 0,7 × 0,7 = 0,7²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 6² = 6 × 6 = 36 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 49 = 7² : carré
55 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 55 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
125 = 5³ : cube 150 : ni l'un ni l'autre (12² = 144 < 150 < 169 = 13²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 2² − 4 = 2 × 4 − 4 = 8 − 4 = 4
B = (2 × 2)² − 4 = 4² − 4 = 16 − 4 = 12
C = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
D = (5 + 4)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 5 : 2a³ = 2 × 5³ = 2 × 125 = 250
Pour a = 10 : 2a³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. V = 50³ = 50 × 50 × 50 = 125 000
a) Le volume est de 125 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
125 000 ÷ 1 000 = 125
b) L'aquarium contient 125 litres.
Autre façon de voir : 50 cm, c'est 5 fois 10 cm ; on range 5 × 5 × 5 = 125 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 130 et 185. » → encore 54 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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