Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (10 + 7) × 8 = 17 × 8 = 136
B = 10 + 7 × 8 = 10 + 56 = 66
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 13 + 56 ÷ 8 est une somme : c'est la somme de 13 et du quotient de 56 par 8.
D = 30 − 4 × 6 est une différence : c'est la différence entre 30 et le produit de 4 par 6.
E = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 160 = 800 ≤ 802 < 805 = 5 × 161 : le quotient est 160, le reste 802 − 800 = 2.
802 = 5 × 160 + 2, avec 2 < 5.
24 × 88 = 2 112 ≤ 2 130 < 2 136 = 24 × 89 : le quotient est 88, le reste 2 130 − 2 112 = 18.
2 130 = 24 × 88 + 18, avec 18 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 148 = 15 × 9 + 13 : le reste 13 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 148 = 15 × 10 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 148 = 15 × 8 + 28 : le « reste » 28 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 9, reste 13.
3. 107 = 7 × 15 + 2
a) 107 jours font 15 semaines complètes et 2 jours.
Après 15 semaines complètes, on est de nouveau jeudi. Il reste à avancer de 2 jours : jeudi → vendredi → samedi.
b) Dans 107 jours, nous serons samedi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 163 | non | oui | non | oui | non |
| 8 804 | oui | non | non | non | non |
| 807 | non | oui | non | non | non |
| 4 950 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 485 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
8 163 → 8 + 1 + 6 + 3 = 18 8 804 → 8 + 8 + 0 + 4 = 20 807 → 8 + 0 + 7 = 15
4 950 → 4 + 9 + 5 + 0 = 18 485 → 4 + 8 + 5 = 17
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 1 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6 ; □ = 3 : 9 ; □ = 6 : 12 ; □ = 9 : 15
4 solutions : 501, 531, 561, 591.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 24 est divisible par 3 (24 = 3 × 8) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 162 est un multiple de 9. » Vrai. 162 = 9 × 18 : le reste de la division de 162 par 9 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 51 − 2 × 4 = 51 − 8 = 43
B = 36 ÷ 4 × 2 = 9 × 2 = 18
C = 59 − 2 × (16 − 9) = 59 − 2 × 7 = 59 − 14 = 45
D = 9,9 + 4 × 2,5 = 9,9 + 10 = 19,9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 + 8) × 7 + 7 = 11 × 7 + 7 = 77 + 7 = 84
6 × (3 × 5 + 2) = 6 × (15 + 2) = 6 × 17 = 102
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 17 + 5,05 + 83 = 17 + 83 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
F = 16 × 99 = 16 × (100 − 1) = 16 × 100 − 16 × 1 = 1 600 − 16 = 1 584
G = 1,5 × 0,25 + 1,5 × 0,75 = 1,5 × (0,25 + 0,75) = 1,5 × 1 = 1,5
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 10 × 10 = 10² 5 × 5 × 5 = 5³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2 × 4² = 8² » Faux. 2 × 4² = 2 × 16 = 32, alors que 8² = 64. Le carré ne porte que sur 4.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 56 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 56 < 64 = 8²)
100 = 10² : carré 111 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 111 < 121 = 11²)
118 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 118 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 6² − 9 = 5 × 36 − 9 = 180 − 9 = 171
B = (5 × 6)² − 9 = 30² − 9 = 900 − 9 = 891
C = 2² + 7² = 4 + 49 = 53
D = (2 + 7)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 7 = 2 × 2² − 7 = 2 × 4 − 7 = 8 − 7 = 1
B = (2a)² − 7 = (2 × 2)² − 7 = 4² − 7 = 16 − 7 = 9
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 25 = 4 : il y a 4 carreaux par mètre.
2 × 4 = 8
a) Il faut 8 carreaux le long d'un côté.
8 rangées de 8 carreaux : 8² = 8 × 8 = 64
b) Il faut 64 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 6 et 47. » → encore 40 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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