Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 4)² = 8² = 64
B = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 22 − 7 × 2 est une différence : c'est la différence entre 22 et le produit de 7 par 2.
D = (9 + 4) × 2 est un produit : c'est le produit de la somme de 9 et 4 par 2.
E = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 20 = 140 ≤ 146 < 147 = 7 × 21 : le quotient est 20, le reste 146 − 140 = 6.
146 = 7 × 20 + 6, avec 6 < 7.
24 × 41 = 984 ≤ 1 000 < 1 008 = 24 × 42 : le quotient est 41, le reste 1 000 − 984 = 16.
1 000 = 24 × 41 + 16, avec 16 < 24.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 307 = 15 × 21 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 307 = 15 × 19 + 22 : le « reste » 22 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 307 = 15 × 20 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 15. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 20, reste 7.
Comme 7 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 307 par 20 : quotient 15, reste 7.
3. 108 = 7 × 15 + 3, avec 3 < 7
a) Chaque joueur reçoit 15 cartes.
b) La pioche contient 3 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 8 649 | non | oui | non | oui | non |
| 201 | non | oui | non | non | non |
| 665 | non | non | oui | non | non |
| 9 524 | oui | non | non | non | non |
| 9 790 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
8 649 → 8 + 6 + 4 + 9 = 27 201 → 2 + 0 + 1 = 3 665 → 6 + 6 + 5 = 17
9 524 → 9 + 5 + 2 + 4 = 20 9 790 → 9 + 7 + 9 + 0 = 25
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 6 + 7 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 15 ; □ = 8 : 21
2 solutions : 672, 678.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 57 est divisible par 3 (57 = 3 × 19) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 109 est un multiple de 8. » Faux. 109 = 8 × 13 + 5 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 33 − 4 + 7 = 29 + 7 = 36
B = 36 ÷ 6 × 3 = 6 × 3 = 18
C = (3 + 7) × 4 − 14 = 10 × 4 − 14 = 40 − 14 = 26
D = 3 × [36 − (9 + 2)] = 3 × [36 − 11] = 3 × 25 = 75
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 × 9 − (8 + 3) = 8 × 9 − 11 = 72 − 11 = 61
6 × (8 − 3 + 5) = 6 × (5 + 5) = 6 × 10 = 60
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 4,5 × 1,3 + 4,5 × 8,7 = 4,5 × (1,3 + 8,7) = 4,5 × 10 = 45
F = 66 + 7,8 + 34 = 66 + 34 + 7,8 = 100 + 7,8 = 107,8
G = 31 × 99 = 31 × (100 − 1) = 31 × 100 − 31 × 1 = 3 100 − 31 = 3 069
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 7 × 7 = 7² 1,1 × 1,1 = 1,1²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 12² = 12 × 12 = 144 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
42 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 42 < 49 = 7²) 60 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 60 < 64 = 8²)
100 = 10² : carré 101 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 101 < 121 = 11²)
121 = 11² : carré 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 1 = 4 × 25 − 1 = 100 − 1 = 99
B = (4 × 5)² − 1 = 20² − 1 = 400 − 1 = 399
C = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
D = (4 + 5)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour x = 3 : x² + 3x = 3² + 3 × 3 = 9 + 3 × 3 = 9 + 9 = 18
Pour x = 10 : x² + 3x = 10² + 3 × 10 = 100 + 3 × 10 = 100 + 30 = 130
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 400 : 20 × 20 = 400, c'est-à-dire 20² = 400.
a) Le côté mesure 20 m.
4 × 20 = 80
b) Le périmètre est de 80 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 290 et 362. » → encore 71 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 324, 361.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 324.
Le nombre mystère est 324 (324 = 18²).
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