Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 5² = 2 × 25 = 50
B = (2 × 5)² = 10² = 100
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5² − 17 est une différence : c'est la différence entre le carré de 5 et 17.
D = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
E = 6² + 3² est une somme : c'est la somme des carrés de 6 et de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 196 = 784 ≤ 785 < 788 = 4 × 197 : le quotient est 196, le reste 785 − 784 = 1.
785 = 4 × 196 + 1, avec 1 < 4.
16 × 101 = 1 616 ≤ 1 621 < 1 632 = 16 × 102 : le quotient est 101, le reste 1 621 − 1 616 = 5.
1 621 = 16 × 101 + 5, avec 5 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 221 = 6 × 37 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 221 = 6 × 35 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(c) 221 = 6 × 36 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 6. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 36, reste 5.
Comme 5 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 221 par 36 : quotient 6, reste 5.
3. 52 = 6 × 8 + 4, avec 4 < 6
a) Chaque joueur reçoit 8 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 6 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 5 760 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 695 | non | non | oui | non | non |
| 7 137 | non | oui | non | oui | non |
| 3 184 | oui | non | non | non | non |
| 327 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
5 760 → 5 + 7 + 6 + 0 = 18 695 → 6 + 9 + 5 = 20 7 137 → 7 + 1 + 3 + 7 = 18
3 184 → 3 + 1 + 8 + 4 = 16 327 → 3 + 2 + 7 = 12
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 1 + □ = 3 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3 ; □ = 6 : 9
2 solutions : 210, 216.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 60 est divisible par 3 (60 = 3 × 20) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 6, n'est pas dans la table de 9).
« 9 est un diviseur de 112. » Faux. 112 = 9 × 12 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 54 − 6 × 4 = 54 − 24 = 30
B = 5 + 15 ÷ 3 × 3 = 5 + 5 × 3 = 5 + 15 = 20
C = (5 × 5 − 6) ÷ 2 = (25 − 6) ÷ 2 = 19 ÷ 2 = 9,5
D = 3,9 + 2 × 0,2 = 3,9 + 0,4 = 4,3
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (4 + 8) − 7 = 5 × 12 − 7 = 60 − 7 = 53
8 − (4 + 2) − 2 = 8 − 6 − 2 = 2 − 2 = 0
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 45 × 101 = 45 × (100 + 1) = 45 × 100 + 45 × 1 = 4 500 + 45 = 4 545
F = 45 × 52 + 45 × 48 = 45 × (52 + 48) = 45 × 100 = 4 500
G = 2 × 45 × 50 = 2 × 50 × 45 = 100 × 45 = 4 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,4 × 0,4 = 0,4² 4 × 4 × 4 = 4³ 3 × 3 = 3²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 7² = 14 » Faux. 7² = 7 × 7 = 49. L'exposant ne multiplie pas : 7 × 2 = 14, c'est le double.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 114 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 114 < 121 = 11²)
125 = 5³ : cube 141 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 141 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 6 = 2 × 36 − 6 = 72 − 6 = 66
B = (2 × 6)² − 6 = 12² − 6 = 144 − 6 = 138
C = 5² + 2² = 25 + 4 = 29
D = (5 + 2)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 4a² − 3 = 4 × 5² − 3 = 4 × 25 − 3 = 100 − 3 = 97
B = (4a)² − 3 = (4 × 5)² − 3 = 20² − 3 = 400 − 3 = 397
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 4a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. 1 m = 100 cm et 100 ÷ 25 = 4 : il y a 4 carreaux par mètre.
5 × 4 = 20
a) Il faut 20 carreaux le long d'un côté.
20 rangées de 20 carreaux : 20² = 20 × 20 = 400
b) Il faut 400 carreaux en tout.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 224 et 275. » → encore 50 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 225, 256.
« Mon chiffre des unités est 6. » → reste : 256.
Le nombre mystère est 256 (256 = 16²).
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