Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (1 + 6)² = 7² = 49
B = 1² + 6² = 1 + 36 = 37
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (17 + 4) ÷ 3 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 17 et 4 par 3.
D = (12 + 4) × 5 est un produit : c'est le produit de la somme de 12 et 4 par 5.
E = 4 + 5 × 5 est une somme : c'est la somme de 4 et du produit de 5 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 59 = 472 ≤ 474 < 480 = 8 × 60 : le quotient est 59, le reste 474 − 472 = 2.
474 = 8 × 59 + 2, avec 2 < 8.
29 × 82 = 2 378 ≤ 2 379 < 2 407 = 29 × 83 : le quotient est 82, le reste 2 379 − 2 378 = 1.
2 379 = 29 × 82 + 1, avec 1 < 29.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 355 = 9 × 39 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 9. ✔
(b) 355 = 9 × 38 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(c) 355 = 9 × 40 − 5 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 39, reste 4.
Comme 4 < 39 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 355 par 39 : quotient 9, reste 4.
3. 205 = 7 × 29 + 2
a) 205 jours font 29 semaines complètes et 2 jours.
Après 29 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 2 jours : lundi → mardi → mercredi.
b) Dans 205 jours, nous serons mercredi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 681 | non | oui | non | non | non |
| 7 641 | non | oui | non | oui | non |
| 4 110 | oui | oui | oui | non | oui |
| 3 152 | oui | non | non | non | non |
| 925 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
681 → 6 + 8 + 1 = 15 7 641 → 7 + 6 + 4 + 1 = 18 4 110 → 4 + 1 + 1 + 0 = 6
3 152 → 3 + 1 + 5 + 2 = 11 925 → 9 + 2 + 5 = 16
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 8 = 13 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 558.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 3 est un diviseur de 78. » Vrai. 78 = 3 × 26 : le reste de la division de 78 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 9 + 3 × 7 = 9 + 21 = 30
B = 16 ÷ 8 × 3 = 2 × 3 = 6
C = (9 × 3 − 8) ÷ 4 = (27 − 8) ÷ 4 = 19 ÷ 4 = 4,75
D = 3,7 + 5 × 1,5 = 3,7 + 7,5 = 11,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 + 2 × (9 − 3) = 8 + 2 × 6 = 8 + 12 = 20
(4 + 4 + 5) × 6 = (8 + 5) × 6 = 13 × 6 = 78
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 5 × 91 × 20 = 5 × 20 × 91 = 100 × 91 = 9 100
F = 3,6 × 0,4 + 3,6 × 0,6 = 3,6 × (0,4 + 0,6) = 3,6 × 1 = 3,6
G = 29 × 9 = 29 × (10 − 1) = 29 × 10 − 29 × 1 = 290 − 29 = 261
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 4 × 4 × 4 = 4³ 5 × 5 = 5²
7 + 7 + 7 = 3 × 7 = 21 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 7³ = 343.
2. 6² = 6 × 6 = 36 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 32 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 32 < 36 = 6²)
36 = 6² : carré 49 = 7² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 122 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 122 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 2 = 2 × 9 − 2 = 18 − 2 = 16
B = (2 × 3)² − 2 = 6² − 2 = 36 − 2 = 34
C = 7² + 4² = 49 + 16 = 65
D = (7 + 4)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 3 en rétablissant les signes ×.
A = 2a² − 6 = 2 × 3² − 6 = 2 × 9 − 6 = 18 − 6 = 12
B = (2a)² − 6 = (2 × 3)² − 6 = 6² − 6 = 36 − 6 = 30
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 2a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 161 :
12² = 144 ≤ 161 et 13² = 169 > 161.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
161 − 144 = 17
b) Il lui restera 17 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 2 et 48. » → encore 45 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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