Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (40 + 15) ÷ 5 = 55 ÷ 5 = 11
B = 40 + 15 ÷ 5 = 40 + 3 = 43
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × (6 − 3) est un produit : c'est le produit de 5 par la différence entre 6 et 3.
D = 1² + 6² est une somme : c'est la somme des carrés de 1 et de 6.
E = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 100 = 800 ≤ 806 < 808 = 8 × 101 : le quotient est 100, le reste 806 − 800 = 6.
806 = 8 × 100 + 6, avec 6 < 8.
26 × 31 = 806 ≤ 813 < 832 = 26 × 32 : le quotient est 31, le reste 813 − 806 = 7.
813 = 26 × 31 + 7, avec 7 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 309 = 8 × 39 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 309 = 8 × 38 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 8. ✔
(c) 309 = 8 × 37 + 13 : le « reste » 13 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 38, reste 5.
Comme 5 < 38 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 309 par 38 : quotient 8, reste 5.
3. 230 = 30 × 7 + 20
En 7 soirs, elle lit 210 pages ; il lui en reste encore 20.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 20 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 1 700 | oui | non | oui | non | oui |
| 237 | non | oui | non | non | non |
| 5 014 | oui | non | non | non | non |
| 6 939 | non | oui | non | oui | non |
| 125 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
1 700 → 1 + 7 + 0 + 0 = 8 237 → 2 + 3 + 7 = 12 5 014 → 5 + 0 + 1 + 4 = 10
6 939 → 6 + 9 + 3 + 9 = 27 125 → 1 + 2 + 5 = 8
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 1 + 5 + □ = 6 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 6
Une seule solution : 150.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 58 est pair mais 58 = 3 × 19 + 1.
« 8 est un diviseur de 192. » Vrai. 192 = 8 × 24 : le reste de la division de 192 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 24 + 7 × 3 = 24 + 21 = 45
B = 9 × 4 − 5 × 2 = 36 − 10 = 26
C = (10 + 8) × 4 − 2 = 18 × 4 − 2 = 72 − 2 = 70
D = [2 + 4 × (7 − 5)] ÷ 2 = [2 + 4 × 2] ÷ 2 = [2 + 8] ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 + 8 × (8 + 4) = 5 + 8 × 12 = 5 + 96 = 101
7 + 2 − (2 − 2) = 7 + 2 − 0 = 9 − 0 = 9
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 41 × 11 = 41 × (10 + 1) = 41 × 10 + 41 × 1 = 410 + 41 = 451
F = 5 × 87 × 20 = 5 × 20 × 87 = 100 × 87 = 8 700
G = 37 × 25 − 37 × 15 = 37 × (25 − 15) = 37 × 10 = 370
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 1,1 × 1,1 = 1,1² 3 × 3 = 3²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 9² = 9 × 9 = 81 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 6² = 12 » Faux. 6² = 6 × 6 = 36. L'exposant ne multiplie pas : 6 × 2 = 12, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 51 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 51 < 64 = 8²)
57 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 57 < 64 = 8²) 125 = 5³ : cube
133 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 133 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 3² − 8 = 2 × 9 − 8 = 18 − 8 = 10
B = (2 × 3)² − 8 = 6² − 8 = 36 − 8 = 28
C = 1² + 3² = 1 + 9 = 10
D = (1 + 3)² = 4² = 16
A ≠ B : dans A, seul 3 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 3. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour n = 6 : n² + 18 = 6² + 18 = 36 + 18 = 54 et 9n = 9 × 6 = 54.
54 = 54 : l'égalité est vraie pour n = 6.
Pour n = 1 : n² + 18 = 1² + 18 = 1 + 18 = 19 et 9n = 9 × 1 = 9.
19 ≠ 9 : l'égalité est fausse pour n = 1.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour n = 3, et seulement pour 6 et 3.)
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 49 : 7 × 7 = 49, c'est-à-dire 7² = 49.
a) Le côté mesure 7 m.
4 × 7 = 28
b) Le périmètre est de 28 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 134 et 180. » → encore 45 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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