Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 4)² = 8² = 64
B = 2 × 4² = 2 × 16 = 32
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 3 × (9 − 8) est un produit : c'est le produit de 3 par la différence entre 9 et 8.
D = 26 − 6 × 3 est une différence : c'est la différence entre 26 et le produit de 6 par 3.
E = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 45 = 225 ≤ 226 < 230 = 5 × 46 : le quotient est 45, le reste 226 − 225 = 1.
226 = 5 × 45 + 1, avec 1 < 5.
18 × 110 = 1 980 ≤ 1 991 < 1 998 = 18 × 111 : le quotient est 110, le reste 1 991 − 1 980 = 11.
1 991 = 18 × 110 + 11, avec 11 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 232 = 6 × 38 + 4 : le reste 4 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 232 = 6 × 37 + 10 : le « reste » 10 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(c) 232 = 6 × 39 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 38, reste 4.
Comme 4 < 38 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 232 par 38 : quotient 6, reste 4.
3. 207 = 25 × 8 + 7
En 8 soirs, elle lit 200 pages ; il lui en reste encore 7.
a) Il lui faut 8 + 1 = 9 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 7 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 219 | non | oui | non | oui | non |
| 175 | non | non | oui | non | non |
| 5 404 | oui | non | non | non | non |
| 147 | non | oui | non | non | non |
| 3 830 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
6 219 → 6 + 2 + 1 + 9 = 18 175 → 1 + 7 + 5 = 13 5 404 → 5 + 4 + 0 + 4 = 13
147 → 1 + 4 + 7 = 12 3 830 → 3 + 8 + 3 + 0 = 14
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 1 = 3 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 6 : 9
Une seule solution : 261.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 73 se termine par 3, mais 73 = 3 × 24 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 181 est un multiple de 7. » Faux. 181 = 7 × 25 + 6 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 6 + 3 × 5 = 6 + 15 = 21
B = 10 + 36 ÷ 9 × 4 = 10 + 4 × 4 = 10 + 16 = 26
C = (4 + 11) × 3 − 7 = 15 × 3 − 7 = 45 − 7 = 38
D = 4 × [33 − (3 + 4)] = 4 × [33 − 7] = 4 × 26 = 104
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × (3 − 2 + 7) = 4 × (1 + 7) = 4 × 8 = 32
4 + 7 − (5 − 2) = 4 + 7 − 3 = 11 − 3 = 8
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,25 + 12,5 × 0,75 = 12,5 × (0,25 + 0,75) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 44 × 101 = 44 × (100 + 1) = 44 × 100 + 44 × 1 = 4 400 + 44 = 4 444
G = 2 × 55 × 50 = 2 × 50 × 55 = 100 × 55 = 5 500
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 9 × 9 = 9² 2 × 2 × 2 = 2³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 8² = 8 × 8 = 64 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 5² = 10 » Faux. 5² = 5 × 5 = 25. L'exposant ne multiplie pas : 5 × 2 = 10, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 73 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 73 < 81 = 9²)
75 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 75 < 81 = 9²) 100 = 10² : carré
111 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 111 < 121 = 11²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 5² − 7 = 2 × 25 − 7 = 50 − 7 = 43
B = (2 × 5)² − 7 = 10² − 7 = 100 − 7 = 93
C = 3² + 2² = 9 + 4 = 13
D = (3 + 2)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 6 = 2 × 5² − 6 = 2 × 25 − 6 = 50 − 6 = 44
B = (2x)² − 6 = (2 × 5)² − 6 = 10² − 6 = 100 − 6 = 94
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 64 : 8 × 8 = 64, c'est-à-dire 8² = 64.
a) Le côté mesure 8 m.
4 × 8 = 32
b) Le périmètre est de 32 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 1 et 51. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 8, 27.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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