Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (10 + 5) ÷ 5 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 10 et 5 par 5.
D = 2 × 7² est un produit : c'est le double du carré de 7.
E = 1² + 8² est une somme : c'est la somme des carrés de 1 et de 8.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 105 = 420 ≤ 421 < 424 = 4 × 106 : le quotient est 105, le reste 421 − 420 = 1.
421 = 4 × 105 + 1, avec 1 < 4.
23 × 30 = 690 ≤ 702 < 713 = 23 × 31 : le quotient est 30, le reste 702 − 690 = 12.
702 = 23 × 30 + 12, avec 12 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 12 » :
(a) 245 = 12 × 21 − 7 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 245 = 12 × 19 + 17 : le « reste » 17 est plus grand que 12, on pouvait encore mettre 12 une fois de plus.
(c) 245 = 12 × 20 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 12. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 20, reste 5.
Comme 5 < 20 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 245 par 20 : quotient 12, reste 5.
3. 250 = 20 × 12 + 10
En 12 soirs, elle lit 240 pages ; il lui en reste encore 10.
a) Il lui faut 12 + 1 = 13 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 10 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 260 | oui | non | oui | non | oui |
| 807 | non | oui | non | non | non |
| 2 236 | oui | non | non | non | non |
| 595 | non | non | oui | non | non |
| 6 633 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
6 260 → 6 + 2 + 6 + 0 = 14 807 → 8 + 0 + 7 = 15 2 236 → 2 + 2 + 3 + 6 = 13
595 → 5 + 9 + 5 = 19 6 633 → 6 + 6 + 3 + 3 = 18
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 0 + □ = 2 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 4 : 6
Une seule solution : 204.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 53 se termine par 3, mais 53 = 3 × 17 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 3 est un diviseur de 81. » Vrai. 81 = 3 × 27 : le reste de la division de 81 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 5 + 4 × 8 = 5 + 32 = 37
B = 3 + 40 ÷ 8 × 4 = 3 + 5 × 4 = 3 + 20 = 23
C = (11 + 5) × 3 − 7 = 16 × 3 − 7 = 48 − 7 = 41
D = [7 + 6 × (7 − 3)] ÷ 2 = [7 + 6 × 4] ÷ 2 = [7 + 24] ÷ 2 = 31 ÷ 2 = 15,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
9 + 9 − (5 − 3) = 9 + 9 − 2 = 18 − 2 = 16
(9 + 2) × 7 + 8 = 11 × 7 + 8 = 77 + 8 = 85
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 32 × 99 = 32 × (100 − 1) = 32 × 100 − 32 × 1 = 3 200 − 32 = 3 168
F = 5 × 43 × 20 = 5 × 20 × 43 = 100 × 43 = 4 300
G = 2,7 × 0,7 + 2,7 × 0,3 = 2,7 × (0,7 + 0,3) = 2,7 × 1 = 2,7
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2 × 2 × 2 = 2³ 7 × 7 = 7² 0,4 × 0,4 = 0,4²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 11² = 11 × 11 = 121 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,6² = 0,6 × 0,6 = 0,36
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 2² = 1 + 4 = 5, qui n'est le carré d'aucun entier (2² = 4 et 3² = 9). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
13 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 13 < 16 = 4²) 25 = 5² : carré
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 122 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 122 < 144 = 12²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 6² − 9 = 2 × 36 − 9 = 72 − 9 = 63
B = (2 × 6)² − 9 = 12² − 9 = 144 − 9 = 135
C = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
D = (2 + 5)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 5a² − 7 = 5 × 4² − 7 = 5 × 16 − 7 = 80 − 7 = 73
B = (5a)² − 7 = (5 × 4)² − 7 = 20² − 7 = 400 − 7 = 393
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 5a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 118 et 151. » → encore 32 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 121, 144.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 144.
Le nombre mystère est 144 (144 = 12²).
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