Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 9 + 2 × 9 = 9 + 18 = 27
B = (9 + 2) × 9 = 11 × 9 = 99
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 9² − 77 est une différence : c'est la différence entre le carré de 9 et 77.
D = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
E = 8² + 1² est une somme : c'est la somme des carrés de 8 et de 1.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 128 = 896 ≤ 897 < 903 = 7 × 129 : le quotient est 128, le reste 897 − 896 = 1.
897 = 7 × 128 + 1, avec 1 < 7.
14 × 39 = 546 ≤ 552 < 560 = 14 × 40 : le quotient est 39, le reste 552 − 546 = 6.
552 = 14 × 39 + 6, avec 6 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 10 » :
(a) 368 = 10 × 37 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 368 = 10 × 36 + 8 : le reste 8 est bien inférieur à 10. ✔
(c) 368 = 10 × 35 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 10, on pouvait encore mettre 10 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 36, reste 8.
Comme 8 < 36 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 368 par 36 : quotient 10, reste 8.
3. 376 = 7 × 53 + 5
a) 376 jours font 53 semaines complètes et 5 jours.
Après 53 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 5 jours : mercredi → jeudi → vendredi → samedi → dimanche → lundi.
b) Dans 376 jours, nous serons lundi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 815 | non | non | oui | non | non |
| 1 300 | oui | non | oui | non | oui |
| 7 978 | oui | non | non | non | non |
| 1 917 | non | oui | non | oui | non |
| 681 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
815 → 8 + 1 + 5 = 14 1 300 → 1 + 3 + 0 + 0 = 4 7 978 → 7 + 9 + 7 + 8 = 31
1 917 → 1 + 9 + 1 + 7 = 18 681 → 6 + 8 + 1 = 15
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 7 = 15 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 18
Une seule solution : 837.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 963, somme des chiffres 18.
« 6 est un diviseur de 165. » Faux. 165 = 6 × 27 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 67 − 5 × 3 = 67 − 15 = 52
B = 6 ÷ 3 × 2 = 2 × 2 = 4
C = (3 + 11) × 2 − 11 = 14 × 2 − 11 = 28 − 11 = 17
D = [5 + 4 × (7 − 2)] ÷ 2 = [5 + 4 × 5] ÷ 2 = [5 + 20] ÷ 2 = 25 ÷ 2 = 12,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 − (6 + 7 − 8) = 7 − (13 − 8) = 7 − 5 = 2
2 × (7 + 2 × 2) = 2 × (7 + 4) = 2 × 11 = 22
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 32 × 11 = 32 × (10 + 1) = 32 × 10 + 32 × 1 = 320 + 32 = 352
F = 35 × 11 + 35 × 89 = 35 × (11 + 89) = 35 × 100 = 3 500
G = 24 + 5,05 + 76 = 24 + 76 + 5,05 = 100 + 5,05 = 105,05
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 4 × 4 × 4 = 4³ 0,4 × 0,4 = 0,4²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 10² = 10 × 10 = 100 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,7² = 0,7 × 0,7 = 0,49
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« 9² = 18 » Faux. 9² = 9 × 9 = 81. L'exposant ne multiplie pas : 9 × 2 = 18, c'est le double.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 20 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 20 < 25 = 5²)
67 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 67 < 81 = 9²) 84 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 84 < 100 = 10²)
100 = 10² : carré 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 5² − 4 = 5 × 25 − 4 = 125 − 4 = 121
B = (5 × 5)² − 4 = 25² − 4 = 625 − 4 = 621
C = 2² + 7² = 4 + 49 = 53
D = (2 + 7)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 5 en rétablissant les signes ×.
A = 5x² − 3 = 5 × 5² − 3 = 5 × 25 − 3 = 125 − 3 = 122
B = (5x)² − 3 = (5 × 5)² − 3 = 25² − 3 = 625 − 3 = 622
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 5x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 3 petits cubes sur 3 : 3² = 3 × 3 = 9.
a) On voit 9 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 3 couches de 9 petits cubes : 3³ = 3 × 3 × 3 = 27.
b) Il a utilisé 27 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 3 − 2 = 1 petits cubes d'arête. 1³ = 1 × 1 × 1 = 1.
c) 1 petit cube n'a aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 74 et 113. » → encore 38 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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