Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (18 − 2) × 3 = 16 × 3 = 48
B = 18 − 2 × 3 = 18 − 6 = 12
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 19 + 36 ÷ 4 est une somme : c'est la somme de 19 et du quotient de 36 par 4.
D = (4 + 7)² est un carré : c'est le carré de la somme de 4 et 7.
E = 4 × 5² − 15 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 5 et 15.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 116 = 580 ≤ 583 < 585 = 5 × 117 : le quotient est 116, le reste 583 − 580 = 3.
583 = 5 × 116 + 3, avec 3 < 5.
14 × 176 = 2 464 ≤ 2 476 < 2 478 = 14 × 177 : le quotient est 176, le reste 2 476 − 2 464 = 12.
2 476 = 14 × 176 + 12, avec 12 < 14.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 151 = 15 × 10 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 151 = 15 × 9 + 16 : le « reste » 16 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
(c) 151 = 15 × 11 − 14 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 10, reste 1.
Comme 1 < 10 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 151 par 10 : quotient 15, reste 1.
3. 213 = 6 × 35 + 3, avec 3 < 6
a) Elle remplit 35 boîtes pleines.
b) Il reste 3 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 501 | non | oui | non | non | non |
| 5 373 | non | oui | non | oui | non |
| 7 898 | oui | non | non | non | non |
| 1 990 | oui | non | oui | non | oui |
| 785 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
501 → 5 + 0 + 1 = 6 5 373 → 5 + 3 + 7 + 3 = 18 7 898 → 7 + 8 + 9 + 8 = 32
1 990 → 1 + 9 + 9 + 0 = 19 785 → 7 + 8 + 5 = 20
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 6 = 10 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 5 : 15 ; □ = 8 : 18
3 solutions : 426, 456, 486.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 98 est pair mais 98 = 3 × 32 + 2.
« 8 est un diviseur de 176. » Vrai. 176 = 8 × 22 : le reste de la division de 176 par 8 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 88 − 4 × 5 = 88 − 20 = 68
B = 7 × 8 − 4 × 3 = 56 − 12 = 44
C = (7 × 5 − 1) ÷ 4 = (35 − 1) ÷ 4 = 34 ÷ 4 = 8,5
D = 4 × [29 − (2 + 3)] = 4 × [29 − 5] = 4 × 24 = 96
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
7 × (6 + 7 + 5) = 7 × (13 + 5) = 7 × 18 = 126
3 × (6 + 8) − 2 = 3 × 14 − 2 = 42 − 2 = 40
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 42 × 101 = 42 × (100 + 1) = 42 × 100 + 42 × 1 = 4 200 + 42 = 4 242
F = 27 × 84 − 27 × 74 = 27 × (84 − 74) = 27 × 10 = 270
G = 5 × 86 × 20 = 5 × 20 × 86 = 100 × 86 = 8 600
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 = 5² 4 × 4 × 4 = 4³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 8² = 8 × 8 = 64 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 0,3² = 0,9 » Faux. 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 37 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 37 < 49 = 7²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 100 = 10² : carré
111 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 111 < 121 = 11²) 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 4² − 2 = 4 × 16 − 2 = 64 − 2 = 62
B = (4 × 4)² − 2 = 16² − 2 = 256 − 2 = 254
C = 3² + 7² = 9 + 49 = 58
D = (3 + 7)² = 10² = 100
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 6 : 8n² = 8 × 6² = 8 × 36 = 288
Pour n = 0,5 : 8n² = 8 × 0,5² = 8 × 0,25 = 2
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 42 et 119. » → encore 76 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81, 100.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49, 81.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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