Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 14 + 3 × 5 = 14 + 15 = 29
B = (14 + 3) × 5 = 17 × 5 = 85
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 6² + 5² est une somme : c'est la somme des carrés de 6 et de 5.
D = (1 + 5)² est un carré : c'est le carré de la somme de 1 et 5.
E = (11 + 5) × 3 est un produit : c'est le produit de la somme de 11 et 5 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 80 = 560 ≤ 566 < 567 = 7 × 81 : le quotient est 80, le reste 566 − 560 = 6.
566 = 7 × 80 + 6, avec 6 < 7.
23 × 26 = 598 ≤ 601 < 621 = 23 × 27 : le quotient est 26, le reste 601 − 598 = 3.
601 = 23 × 26 + 3, avec 3 < 23.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 239 = 7 × 35 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 239 = 7 × 33 + 8 : le « reste » 8 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(c) 239 = 7 × 34 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 7. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 34, reste 1.
Comme 1 < 34 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 239 par 34 : quotient 7, reste 1.
3. 268 = 20 × 13 + 8
En 13 soirs, elle lit 260 pages ; il lui en reste encore 8.
a) Il lui faut 13 + 1 = 14 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 8 pages.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 291 | non | oui | non | non | non |
| 1 143 | non | oui | non | oui | non |
| 2 550 | oui | oui | oui | non | oui |
| 9 664 | oui | non | non | non | non |
| 775 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
291 → 2 + 9 + 1 = 12 1 143 → 1 + 1 + 4 + 3 = 9 2 550 → 2 + 5 + 5 + 0 = 12
9 664 → 9 + 6 + 6 + 4 = 25 775 → 7 + 7 + 5 = 19
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 2 + 5 + □ = 7 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 9 ; □ = 8 : 15
2 solutions : 252, 258.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 5 est un diviseur de 128. » Faux. 128 = 5 × 25 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 37 − 3 + 5 = 34 + 5 = 39
B = 2 × 6 − 3 × 3 = 12 − 9 = 3
C = (6 + 3) × 6 − 16 = 9 × 6 − 16 = 54 − 16 = 38
D = 2 × [34 − (6 + 8)] = 2 × [34 − 14] = 2 × 20 = 40
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 + 6 + 2) × 9 = (15 + 2) × 9 = 17 × 9 = 153
(2 × 8 − 2) × 5 = (16 − 2) × 5 = 14 × 5 = 70
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 0,4 + 1,5 × 0,6 = 1,5 × (0,4 + 0,6) = 1,5 × 1 = 1,5
F = 26 × 11 = 26 × (10 + 1) = 26 × 10 + 26 × 1 = 260 + 26 = 286
G = 2 × 57 × 50 = 2 × 50 × 57 = 100 × 57 = 5 700
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 4 × 4 = 4² 5 × 5 × 5 = 5³
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 7² = 7 × 7 = 49 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
118 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 118 < 121 = 11²) 128 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 128 < 144 = 12²)
144 = 12² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 4² − 8 = 2 × 16 − 8 = 32 − 8 = 24
B = (2 × 4)² − 8 = 8² − 8 = 64 − 8 = 56
C = 5² + 3² = 25 + 9 = 34
D = (5 + 3)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 4 : (a + 3)² = (4 + 3)² = 7² = 49
Pour a = 10 : (a + 3)² = (10 + 3)² = 13² = 169
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 49 : 7 × 7 = 49, c'est-à-dire 7² = 49.
a) Le côté mesure 7 m.
4 × 7 = 28
b) Le périmètre est de 28 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 39 et 88. » → encore 48 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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