Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 14) ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9
B = 4 + 14 ÷ 2 = 4 + 7 = 11
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 5)² est un carré : c'est le carré du double de 5.
D = 26 − 4 × 4 est une différence : c'est la différence entre 26 et le produit de 4 par 4.
E = (2 + 3)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 5 × 100 = 500 ≤ 502 < 505 = 5 × 101 : le quotient est 100, le reste 502 − 500 = 2.
502 = 5 × 100 + 2, avec 2 < 5.
19 × 58 = 1 102 ≤ 1 110 < 1 121 = 19 × 59 : le quotient est 58, le reste 1 110 − 1 102 = 8.
1 110 = 19 × 58 + 8, avec 8 < 19.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 6 » :
(a) 227 = 6 × 37 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 6. ✔
(b) 227 = 6 × 36 + 11 : le « reste » 11 est plus grand que 6, on pouvait encore mettre 6 une fois de plus.
(c) 227 = 6 × 38 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (a) : quotient 37, reste 5.
Comme 5 < 37 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 227 par 37 : quotient 6, reste 5.
3. 74 = 15 × 4 + 14
4 minibus pleins transportent 60 élèves ; il en reste 14 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 4 + 1 = 5 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 15 − 14 = 1 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 136 | oui | non | non | non | non |
| 7 821 | non | oui | non | oui | non |
| 147 | non | oui | non | non | non |
| 785 | non | non | oui | non | non |
| 1 530 | oui | oui | oui | oui | oui |
Sommes des chiffres :
6 136 → 6 + 1 + 3 + 6 = 16 7 821 → 7 + 8 + 2 + 1 = 18 147 → 1 + 4 + 7 = 12
785 → 7 + 8 + 5 = 20 1 530 → 1 + 5 + 3 + 0 = 9
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 3 = 6 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 3 : 9
Une seule solution : 333.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 180 est un multiple de 6. » Vrai. 180 = 6 × 30 : le reste de la division de 180 par 6 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 73 − 5 × 2 = 73 − 10 = 63
B = 5 × 3 − 4 × 3 = 15 − 12 = 3
C = (12 + 9) × 4 − 6 = 21 × 4 − 6 = 84 − 6 = 78
D = 5,2 + 6 × 0,5 = 5,2 + 3 = 8,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(8 + 6) × 7 + 8 = 14 × 7 + 8 = 98 + 8 = 106
7 × (6 × 6 − 9) = 7 × (36 − 9) = 7 × 27 = 189
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 16 × 11 = 16 × (10 + 1) = 16 × 10 + 16 × 1 = 160 + 16 = 176
F = 8 × 77 × 125 = 8 × 125 × 77 = 1 000 × 77 = 77 000
G = 39 × 30 + 39 × 70 = 39 × (30 + 70) = 39 × 100 = 3 900
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 10 × 10 = 10² 2 × 2 × 2 = 2³ 1,1 × 1,1 = 1,1²
8 + 8 + 8 = 3 × 8 = 24 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 8³ = 512.
2. 12² = 12 × 12 = 144 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 2 × 3² = 6² » Faux. 2 × 3² = 2 × 9 = 18, alors que 6² = 36. Le carré ne porte que sur 3.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
36 = 6² : carré 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²) 119 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 119 < 121 = 11²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 5² − 6 = 2 × 25 − 6 = 50 − 6 = 44
B = (2 × 5)² − 6 = 10² − 6 = 100 − 6 = 94
C = 2² + 3² = 4 + 9 = 13
D = (2 + 3)² = 5² = 25
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 4x² − 6 = 4 × 4² − 6 = 4 × 16 − 6 = 64 − 6 = 58
B = (4x)² − 6 = (4 × 4)² − 6 = 16² − 6 = 256 − 6 = 250
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 4x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 16 et 73. » → encore 56 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 36, 64.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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