Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 16 − 3 × 4 = 16 − 12 = 4
B = (16 − 3) × 4 = 13 × 4 = 52
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (7 + 1)² est un carré : c'est le carré de la somme de 7 et 1.
D = 5² − 5 est une différence : c'est la différence entre le carré de 5 et 5.
E = 4 × (14 − 10) est un produit : c'est le produit de 4 par la différence entre 14 et 10.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 111 = 777 ≤ 778 < 784 = 7 × 112 : le quotient est 111, le reste 778 − 777 = 1.
778 = 7 × 111 + 1, avec 1 < 7.
11 × 114 = 1 254 ≤ 1 261 < 1 265 = 11 × 115 : le quotient est 114, le reste 1 261 − 1 254 = 7.
1 261 = 11 × 114 + 7, avec 7 < 11.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 529 = 14 × 38 − 3 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 529 = 14 × 36 + 25 : le « reste » 25 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(c) 529 = 14 × 37 + 11 : le reste 11 est bien inférieur à 14. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 37, reste 11.
Comme 11 < 37 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 529 par 37 : quotient 14, reste 11.
3. 32 = 6 × 5 + 2, avec 2 < 6
a) Chaque joueur reçoit 5 cartes.
b) La pioche contient 2 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 6 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 655 | non | non | oui | non | non |
| 741 | non | oui | non | non | non |
| 7 004 | oui | non | non | non | non |
| 1 940 | oui | non | oui | non | oui |
| 7 047 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
655 → 6 + 5 + 5 = 16 741 → 7 + 4 + 1 = 12 7 004 → 7 + 0 + 0 + 4 = 11
1 940 → 1 + 9 + 4 + 0 = 14 7 047 → 7 + 0 + 4 + 7 = 18
2. Somme des chiffres : 3 + □ + 5 = 8 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 1 : 9
Une seule solution : 315.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 828, somme des chiffres 18.
« 8 est un diviseur de 106. » Faux. 106 = 8 × 13 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 4 + 9 × 6 = 4 + 54 = 58
B = 2 + 25 ÷ 5 × 2 = 2 + 5 × 2 = 2 + 10 = 12
C = (8 + 4) × 4 − 19 = 12 × 4 − 19 = 48 − 19 = 29
D = 7,6 + 2 × 1,5 = 7,6 + 3 = 10,6
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(4 + 9 × 3) × 5 = (4 + 27) × 5 = 31 × 5 = 155
3 + (9 + 9) × 3 = 3 + 18 × 3 = 3 + 54 = 57
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 17 × 101 = 17 × (100 + 1) = 17 × 100 + 17 × 1 = 1 700 + 17 = 1 717
F = 3,6 × 0,25 + 3,6 × 0,75 = 3,6 × (0,25 + 0,75) = 3,6 × 1 = 3,6
G = 8 × 57 × 125 = 8 × 125 × 57 = 1 000 × 57 = 57 000
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 12 × 12 = 12² 6 × 6 × 6 = 6³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 11² = 11 × 11 = 121 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 20² = 20 × 20 = 400
3. « 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
« 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« 2³ = 3² » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 et 3² = 3 × 3 = 9.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
18 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 18 < 25 = 5²) 25 = 5² : carré
49 = 7² : carré 71 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 71 < 81 = 9²)
125 = 5³ : cube 137 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 137 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 7 = 3 × 16 − 7 = 48 − 7 = 41
B = (3 × 4)² − 7 = 12² − 7 = 144 − 7 = 137
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 6 : x² + 6 = 6² + 6 = 36 + 6 = 42 et 7x = 7 × 6 = 42.
42 = 42 : l'égalité est vraie pour x = 6.
Pour x = 2 : x² + 6 = 2² + 6 = 4 + 6 = 10 et 7x = 7 × 2 = 14.
10 ≠ 14 : l'égalité est fausse pour x = 2.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 1, et seulement pour 6 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 4 petits cubes sur 4 : 4² = 4 × 4 = 16.
a) On voit 16 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 4 couches de 16 petits cubes : 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
b) Il a utilisé 64 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 4 − 2 = 2 petits cubes d'arête. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8.
c) 8 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 8 et 67. » → encore 58 possibilités.
« Je suis le cube d'un nombre entier. » → reste : 27, 64.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 27.
Le nombre mystère est 27 (27 = 3³).
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