Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 3 + 2 × 7 = 3 + 14 = 17
B = (3 + 2) × 7 = 5 × 7 = 35
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 × 3)² est un carré : c'est le carré du double de 3.
D = (2 + 16) ÷ 9 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 2 et 16 par 9.
E = 48 − 7 × 5 est une différence : c'est la différence entre 48 et le produit de 7 par 5.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 3 × 302 = 906 ≤ 907 < 909 = 3 × 303 : le quotient est 302, le reste 907 − 906 = 1.
907 = 3 × 302 + 1, avec 1 < 3.
15 × 45 = 675 ≤ 687 < 690 = 15 × 46 : le quotient est 45, le reste 687 − 675 = 12.
687 = 15 × 45 + 12, avec 12 < 15.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 15 » :
(a) 434 = 15 × 28 + 14 : le reste 14 est bien inférieur à 15. ✔
(b) 434 = 15 × 29 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 434 = 15 × 27 + 29 : le « reste » 29 est plus grand que 15, on pouvait encore mettre 15 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 28, reste 14.
Comme 14 < 28 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 434 par 28 : quotient 15, reste 14.
3. 387 = 7 × 55 + 2
a) 387 jours font 55 semaines complètes et 2 jours.
Après 55 semaines complètes, on est de nouveau dimanche. Il reste à avancer de 2 jours : dimanche → lundi → mardi.
b) Dans 387 jours, nous serons mardi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 475 | non | non | oui | non | non |
| 4 779 | non | oui | non | oui | non |
| 141 | non | oui | non | non | non |
| 3 364 | oui | non | non | non | non |
| 8 870 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
475 → 4 + 7 + 5 = 16 4 779 → 4 + 7 + 7 + 9 = 27 141 → 1 + 4 + 1 = 6
3 364 → 3 + 3 + 6 + 4 = 16 8 870 → 8 + 8 + 7 + 0 = 23
2. Somme des chiffres : 4 + □ + 9 = 13 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 5 : 18
Une seule solution : 459.
3. « Un nombre divisible par 3 est toujours divisible par 9. » Faux. Contre-exemple : 66 est divisible par 3 (66 = 3 × 22) mais pas par 9 (la somme de ses chiffres, 12, n'est pas dans la table de 9).
« 87 est un multiple de 3. » Vrai. 87 = 3 × 29 : le reste de la division de 87 par 3 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 10 + 4 × 9 = 10 + 36 = 46
B = 7 × 2 − 2 × 5 = 14 − 10 = 4
C = (4 × 8 − 1) ÷ 4 = (32 − 1) ÷ 4 = 31 ÷ 4 = 7,75
D = 6,9 + 2 × 0,5 = 6,9 + 1 = 7,9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
2 × 3 − (3 − 3) = 2 × 3 − 0 = 6 − 0 = 6
(3 + 2) × 5 − 6 = 5 × 5 − 6 = 25 − 6 = 19
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 40 × 50 = 2 × 50 × 40 = 100 × 40 = 4 000
F = 45 × 101 = 45 × (100 + 1) = 45 × 100 + 45 × 1 = 4 500 + 45 = 4 545
G = 38 × 22 − 38 × 12 = 38 × (22 − 12) = 38 × 10 = 380
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 0,7 × 0,7 = 0,7² 5 × 5 = 5² 6 × 6 × 6 = 6³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 10² = 10 × 10 = 100 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« (4 + 2)² = 4² + 2² » Faux. (4 + 2)² = 6² = 36, alors que 4² + 2² = 16 + 4 = 20.
« 5³ = 15 » Faux. 5³ = 5 × 5 × 5 = 125, et non 3 × 5.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
13 : ni l'un ni l'autre (3² = 9 < 13 < 16 = 4²) 81 = 9² : carré
125 = 5³ : cube 133 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 133 < 144 = 12²)
143 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 143 < 144 = 12²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 3 = 3 × 4 − 3 = 12 − 3 = 9
B = (3 × 2)² − 3 = 6² − 3 = 36 − 3 = 33
C = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
D = (3 + 4)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 2x² − 9 = 2 × 4² − 9 = 2 × 16 − 9 = 32 − 9 = 23
B = (2x)² − 9 = (2 × 4)² − 9 = 8² − 9 = 64 − 9 = 55
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 2x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 4² = π × 16 = 16π
a) L'aire exacte est 16π m².
16 × 3,14 = 50,24
b) L'aire vaut environ 50 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 4², et non (π × 4)². On élève 4 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 186 et 250. » → encore 63 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 196, 225.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 225.
Le nombre mystère est 225 (225 = 15²).
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