Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 3)² = 6² = 36
B = 2 × 3² = 2 × 9 = 18
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 24 − 4 × 3 est une différence : c'est la différence entre 24 et le produit de 4 par 3.
D = (5 + 3) × 7 est un produit : c'est le produit de la somme de 5 et 3 par 7.
E = 12 + 3 × 3 est une somme : c'est la somme de 12 et du produit de 3 par 3.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 126 = 882 ≤ 884 < 889 = 7 × 127 : le quotient est 126, le reste 884 − 882 = 2.
884 = 7 × 126 + 2, avec 2 < 7.
21 × 16 = 336 ≤ 354 < 357 = 21 × 17 : le quotient est 16, le reste 354 − 336 = 18.
354 = 21 × 16 + 18, avec 18 < 21.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 384 = 11 × 35 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 384 = 11 × 33 + 21 : le « reste » 21 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
(c) 384 = 11 × 34 + 10 : le reste 10 est bien inférieur à 11. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 34, reste 10.
Comme 10 < 34 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 384 par 34 : quotient 11, reste 10.
3. 52 = 6 × 8 + 4, avec 4 < 6
a) Chaque joueur reçoit 8 cartes.
b) La pioche contient 4 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 6 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 771 | non | oui | non | non | non |
| 5 913 | non | oui | non | oui | non |
| 7 022 | oui | non | non | non | non |
| 1 260 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 505 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
771 → 7 + 7 + 1 = 15 5 913 → 5 + 9 + 1 + 3 = 18 7 022 → 7 + 0 + 2 + 2 = 11
1 260 → 1 + 2 + 6 + 0 = 9 505 → 5 + 0 + 5 = 10
2. Somme des chiffres : 2 + □ + 7 = 9 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 9 ; □ = 3 : 12 ; □ = 6 : 15 ; □ = 9 : 18
4 solutions : 207, 237, 267, 297.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 34 est pair mais 34 = 3 × 11 + 1.
« 69 est un multiple de 6. » Faux. 69 = 6 × 11 + 3 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 41 − 4 × 8 = 41 − 32 = 9
B = 21 ÷ 7 × 2 = 3 × 2 = 6
C = (8 × 7 − 2) ÷ 2 = (56 − 2) ÷ 2 = 54 ÷ 2 = 27
D = 5 × [29 − (3 + 5)] = 5 × [29 − 8] = 5 × 21 = 105
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(4 + 9 + 8) × 5 = (13 + 8) × 5 = 21 × 5 = 105
9 − (6 + 6 − 9) = 9 − (12 − 9) = 9 − 3 = 6
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 26 × 99 = 26 × (100 − 1) = 26 × 100 − 26 × 1 = 2 600 − 26 = 2 574
F = 4,5 × 1,3 + 4,5 × 8,7 = 4,5 × (1,3 + 8,7) = 4,5 × 10 = 45
G = 2 × 72 × 5 = 2 × 5 × 72 = 10 × 72 = 720
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 7 × 7 = 7² 1,1 × 1,1 = 1,1²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 9² = 9 × 9 = 81 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 3² = 4 + 9 = 13, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 0,2² = 0,4 » Faux. 0,2² = 0,2 × 0,2 = 0,04 : un dixième fois un dixième donne des centièmes.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
27 = 3³ : cube 36 = 6² : carré
38 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 38 < 49 = 7²) 43 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 43 < 49 = 7²)
94 : ni l'un ni l'autre (9² = 81 < 94 < 100 = 10²) 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 2² − 4 = 5 × 4 − 4 = 20 − 4 = 16
B = (5 × 2)² − 4 = 10² − 4 = 100 − 4 = 96
C = 7² + 5² = 49 + 25 = 74
D = (7 + 5)² = 12² = 144
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On calcule séparément chaque membre, puis on compare.
Pour x = 2 : x² + 2 = 2² + 2 = 4 + 2 = 6 et 3x = 3 × 2 = 6.
6 = 6 : l'égalité est vraie pour x = 2.
Pour x = 6 : x² + 2 = 6² + 2 = 36 + 2 = 38 et 3x = 3 × 6 = 18.
38 ≠ 18 : l'égalité est fausse pour x = 6.
Une égalité avec une lettre peut être vraie pour certaines valeurs et fausse pour d'autres. (Celle-ci est vraie aussi pour x = 1, et seulement pour 2 et 1.)
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 95 :
9² = 81 ≤ 95 et 10² = 100 > 95.
a) Elle mettra 9 dalles sur chaque côté.
95 − 81 = 14
b) Il lui restera 14 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 143 et 177. » → encore 33 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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