Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 4 + 4 × 6 = 4 + 24 = 28
B = (4 + 4) × 6 = 8 × 6 = 48
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (12 + 5) × 8 est un produit : c'est le produit de la somme de 12 et 5 par 8.
D = (45 + 9) ÷ 6 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 45 et 9 par 6.
E = 3 × 8² − 12 est une différence : c'est la différence entre le produit de 3 par le carré de 8 et 12.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 56 = 224 ≤ 227 < 228 = 4 × 57 : le quotient est 56, le reste 227 − 224 = 3.
227 = 4 × 56 + 3, avec 3 < 4.
16 × 66 = 1 056 ≤ 1 061 < 1 072 = 16 × 67 : le quotient est 66, le reste 1 061 − 1 056 = 5.
1 061 = 16 × 66 + 5, avec 5 < 16.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 153 = 14 × 10 + 13 : le reste 13 est bien inférieur à 14. ✔
(b) 153 = 14 × 11 − 1 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 153 = 14 × 9 + 27 : le « reste » 27 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
C'est l'égalité (a) : quotient 10, reste 13.
3. 362 = 7 × 51 + 5
a) 362 jours font 51 semaines complètes et 5 jours.
Après 51 semaines complètes, on est de nouveau lundi. Il reste à avancer de 5 jours : lundi → mardi → mercredi → jeudi → vendredi → samedi.
b) Dans 362 jours, nous serons samedi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 3 386 | oui | non | non | non | non |
| 7 101 | non | oui | non | oui | non |
| 445 | non | non | oui | non | non |
| 831 | non | oui | non | non | non |
| 8 840 | oui | non | oui | non | oui |
Sommes des chiffres :
3 386 → 3 + 3 + 8 + 6 = 20 7 101 → 7 + 1 + 0 + 1 = 9 445 → 4 + 4 + 5 = 13
831 → 8 + 3 + 1 = 12 8 840 → 8 + 8 + 4 + 0 = 20
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 7 + 3 + □ = 10 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 12 ; □ = 8 : 18
2 solutions : 732, 738.
3. « Un nombre divisible à la fois par 2 et par 5 se termine par 0. » Vrai. Divisible par 5 : il se termine par 0 ou 5. Divisible par 2 : son dernier chiffre est pair. Le seul chiffre qui convient aux deux est 0.
« 173 est un multiple de 9. » Faux. 173 = 9 × 19 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 27 + 8 × 8 = 27 + 64 = 91
B = 11 + 6 ÷ 3 × 3 = 11 + 2 × 3 = 11 + 6 = 17
C = (5 + 12) × 5 − 16 = 17 × 5 − 16 = 85 − 16 = 69
D = [7 + 4 × (12 − 1)] ÷ 5 = [7 + 4 × 11] ÷ 5 = [7 + 44] ÷ 5 = 51 ÷ 5 = 10,2
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 × (5 × 9 − 9) = 5 × (45 − 9) = 5 × 36 = 180
(3 × 8 + 3) × 7 = (24 + 3) × 7 = 27 × 7 = 189
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 2 × 59 × 50 = 2 × 50 × 59 = 100 × 59 = 5 900
F = 34 × 101 = 34 × (100 + 1) = 34 × 100 + 34 × 1 = 3 400 + 34 = 3 434
G = 13 × 20 + 13 × 80 = 13 × (20 + 80) = 13 × 100 = 1 300
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 6 × 6 × 6 = 6³ 1,5 × 1,5 = 1,5² 4 × 4 = 4²
4 + 4 + 4 = 3 × 4 = 12 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 4³ = 64.
2. 12² = 12 × 12 = 144 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 1² + 3² = 1 + 9 = 10, qui n'est le carré d'aucun entier (3² = 9 et 4² = 16). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 3³ = 9 » Faux. 3³ = 3 × 3 × 3 = 27, et non 3 × 3.
« 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 16 = 4² : carré
47 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 47 < 49 = 7²) 81 = 9² : carré
112 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 112 < 121 = 11²) 116 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 116 < 121 = 11²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 5 × 4² − 6 = 5 × 16 − 6 = 80 − 6 = 74
B = (5 × 4)² − 6 = 20² − 6 = 400 − 6 = 394
C = 4² + 7² = 16 + 49 = 65
D = (4 + 7)² = 11² = 121
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 5 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 5 : a² + 6a = 5² + 6 × 5 = 25 + 6 × 5 = 25 + 30 = 55
Pour a = 10 : a² + 6a = 10² + 6 × 10 = 100 + 6 × 10 = 100 + 60 = 160
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 143 :
11² = 121 ≤ 143 et 12² = 144 > 143.
a) Elle mettra 11 dalles sur chaque côté.
143 − 121 = 22
b) Il lui restera 22 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 129 et 203. » → encore 73 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 144, 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 9. » → reste : 169, 196.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 169.
Le nombre mystère est 169 (169 = 13²).
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