Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
B = (2 × 6)² = 12² = 144
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (1 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 1 et 2.
D = 16 + 72 ÷ 8 est une somme : c'est la somme de 16 et du quotient de 72 par 8.
E = (2 × 4)² est un carré : c'est le carré du double de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 28 = 196 ≤ 202 < 203 = 7 × 29 : le quotient est 28, le reste 202 − 196 = 6.
202 = 7 × 28 + 6, avec 6 < 7.
27 × 65 = 1 755 ≤ 1 759 < 1 782 = 27 × 66 : le quotient est 65, le reste 1 759 − 1 755 = 4.
1 759 = 27 × 65 + 4, avec 4 < 27.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 183 = 7 × 25 + 8 : le « reste » 8 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 183 = 7 × 26 + 1 : le reste 1 est bien inférieur à 7. ✔
(c) 183 = 7 × 27 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 26, reste 1.
Comme 1 < 26 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 183 par 26 : quotient 7, reste 1.
3. 139 = 16 × 8 + 11
8 minibus pleins transportent 128 élèves ; il en reste 11 à placer, qu'on ne peut pas laisser au collège.
a) Il faut réserver 8 + 1 = 9 minibus.
b) Dans le dernier minibus, 16 − 11 = 5 places restent libres.
Ici le quotient ne suffit pas : le reste compte pour un minibus de plus. Il faut toujours revenir à la question.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 6 524 | oui | non | non | non | non |
| 5 740 | oui | non | oui | non | oui |
| 2 637 | non | oui | non | oui | non |
| 215 | non | non | oui | non | non |
| 717 | non | oui | non | non | non |
Sommes des chiffres :
6 524 → 6 + 5 + 2 + 4 = 17 5 740 → 5 + 7 + 4 + 0 = 16 2 637 → 2 + 6 + 3 + 7 = 18
215 → 2 + 1 + 5 = 8 717 → 7 + 1 + 7 = 15
2. Somme des chiffres : 5 + □ + 2 = 7 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 2 : 9
Une seule solution : 522.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 783, somme des chiffres 18.
« 5 est un diviseur de 145. » Vrai. 145 = 5 × 29 : le reste de la division de 145 par 5 est nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 29 + 2 × 4 = 29 + 8 = 37
B = 42 ÷ 6 × 3 = 7 × 3 = 21
C = (4 × 3 − 3) ÷ 5 = (12 − 3) ÷ 5 = 9 ÷ 5 = 1,8
D = 2,5 + 6 × 1,5 = 2,5 + 9 = 11,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(9 + 4) × 9 − 9 = 13 × 9 − 9 = 117 − 9 = 108
(6 + 2 × 2) × 9 = (6 + 4) × 9 = 10 × 9 = 90
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 98 × 125 = 8 × 125 × 98 = 1 000 × 98 = 98 000
F = 3,6 × 0,8 + 3,6 × 0,2 = 3,6 × (0,8 + 0,2) = 3,6 × 1 = 3,6
G = 48 × 101 = 48 × (100 + 1) = 48 × 100 + 48 × 1 = 4 800 + 48 = 4 848
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 7 × 7 = 7² 2,5 × 2,5 = 2,5²
5 + 5 + 5 = 3 × 5 = 15 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 5³ = 125.
2. 6² = 6 × 6 = 36 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,4² = 0,4 × 0,4 = 0,16
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 1³ = 1 » Vrai. 1 × 1 × 1 = 1.
« (5 + 3)² = 5² + 3² » Faux. (5 + 3)² = 8² = 64, alors que 5² + 3² = 25 + 9 = 34.
« 4 × 3² = 12² » Faux. 4 × 3² = 4 × 9 = 36, alors que 12² = 144. Le carré ne porte que sur 3.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
41 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 41 < 49 = 7²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
100 = 10² : carré 121 = 11² : carré
125 = 5³ : cube 137 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 137 < 144 = 12²)
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 5² − 4 = 4 × 25 − 4 = 100 − 4 = 96
B = (4 × 5)² − 4 = 20² − 4 = 400 − 4 = 396
C = 2² + 5² = 4 + 25 = 29
D = (2 + 5)² = 7² = 49
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 2 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 1 = 3 × 2² − 1 = 3 × 4 − 1 = 12 − 1 = 11
B = (3a)² − 1 = (3 × 2)² − 1 = 6² − 1 = 36 − 1 = 35
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. A = π × 5² = π × 25 = 25π
a) L'aire exacte est 25π m².
25 × 3,14 = 78,5
b) L'aire vaut environ 79 m².
Le carré porte sur le rayon seul : π × 5², et non (π × 5)². On élève 5 au carré, puis on multiplie par π.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 25 et 71. » → encore 45 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 36, 49, 64.
« Je suis divisible par 2. » → reste : 36, 64.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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