Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (2 × 6)² = 12² = 144
B = 2 × 6² = 2 × 36 = 72
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = (2 + 1)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 2 et 1.
D = (17 + 18) ÷ 7 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 17 et 18 par 7.
E = 62 − 6 × 7 est une différence : c'est la différence entre 62 et le produit de 6 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 55 = 440 ≤ 445 < 448 = 8 × 56 : le quotient est 55, le reste 445 − 440 = 5.
445 = 8 × 55 + 5, avec 5 < 8.
25 × 23 = 575 ≤ 590 < 600 = 25 × 24 : le quotient est 23, le reste 590 − 575 = 15.
590 = 25 × 23 + 15, avec 15 < 25.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 11 » :
(a) 447 = 11 × 41 − 4 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 447 = 11 × 40 + 7 : le reste 7 est bien inférieur à 11. ✔
(c) 447 = 11 × 39 + 18 : le « reste » 18 est plus grand que 11, on pouvait encore mettre 11 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 40, reste 7.
Comme 7 < 40 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 447 par 40 : quotient 11, reste 7.
3. 194 = 12 × 16 + 2, avec 2 < 12
a) Elle remplit 16 boîtes pleines.
b) Il reste 2 œufs.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 2 872 | oui | non | non | non | non |
| 897 | non | oui | non | non | non |
| 275 | non | non | oui | non | non |
| 6 210 | oui | oui | oui | oui | oui |
| 3 663 | non | oui | non | oui | non |
Sommes des chiffres :
2 872 → 2 + 8 + 7 + 2 = 19 897 → 8 + 9 + 7 = 24 275 → 2 + 7 + 5 = 14
6 210 → 6 + 2 + 1 + 0 = 9 3 663 → 3 + 6 + 6 + 3 = 18
2. Somme des chiffres : 8 + □ + 9 = 17 + □. Elle doit être dans la table de 3.
□ = 1 : 18 ; □ = 4 : 21 ; □ = 7 : 24
3 solutions : 819, 849, 879.
3. « Un nombre divisible par 9 est toujours divisible par 3. » Vrai. Si la somme des chiffres est dans la table de 9, elle est aussi dans celle de 3, car 9 = 3 × 3. Exemple : 153, somme des chiffres 9.
« 8 est un diviseur de 212. » Faux. 212 = 8 × 26 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 38 − 7 + 5 = 31 + 5 = 36
B = 10 + 30 ÷ 5 × 2 = 10 + 6 × 2 = 10 + 12 = 22
C = (8 + 4) × 6 − 3 = 12 × 6 − 3 = 72 − 3 = 69
D = 3 × [21 − (9 + 9)] = 3 × [21 − 18] = 3 × 3 = 9
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
5 + 9 − (2 − 2) = 5 + 9 − 0 = 14 − 0 = 14
9 × (7 − 5) × 4 = 9 × 2 × 4 = 18 × 4 = 72
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 1,5 × 0,8 + 1,5 × 0,2 = 1,5 × (0,8 + 0,2) = 1,5 × 1 = 1,5
F = 4 × 47 × 25 = 4 × 25 × 47 = 100 × 47 = 4 700
G = 45 × 101 = 45 × (100 + 1) = 45 × 100 + 45 × 1 = 4 500 + 45 = 4 545
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 3 × 3 × 3 = 3³ 2,5 × 2,5 = 2,5² 12 × 12 = 12²
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 30² = 30 × 30 = 900
3. « 10³ = 1 000 » Vrai. 10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 : un 1 suivi de trois zéros.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 2² + 5² = 4 + 25 = 29, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
« 4³ = 12 » Faux. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64, et non 3 × 4.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
16 = 4² : carré 21 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 21 < 25 = 5²)
27 = 3³ : cube 35 : ni l'un ni l'autre (5² = 25 < 35 < 36 = 6²)
64 = 8² = 4³ : carré et cube ! 121 = 11² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 2² − 3 = 3 × 4 − 3 = 12 − 3 = 9
B = (3 × 2)² − 3 = 6² − 3 = 36 − 3 = 33
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace n par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour n = 3 : 2n³ = 2 × 3³ = 2 × 27 = 54
Pour n = 10 : 2n³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 8 petits cubes sur 8 : 8² = 8 × 8 = 64.
a) On voit 64 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 8 couches de 64 petits cubes : 8³ = 8 × 8 × 8 = 512.
b) Il a utilisé 512 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 8 − 2 = 6 petits cubes d'arête. 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
c) 216 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 16 et 57. » → encore 40 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 25, 36, 49.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 25, 49.
« Mon chiffre des unités est 9. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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