Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 3² + 1² = 9 + 1 = 10
B = (3 + 1)² = 4² = 16
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8² + 6² est une somme : c'est la somme des carrés de 8 et de 6.
D = 2 × 5² − 9 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 5 et 9.
E = 2 × (14 − 7) est un produit : c'est le produit de 2 par la différence entre 14 et 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 4 × 155 = 620 ≤ 621 < 624 = 4 × 156 : le quotient est 155, le reste 621 − 620 = 1.
621 = 4 × 155 + 1, avec 1 < 4.
26 × 23 = 598 ≤ 600 < 624 = 26 × 24 : le quotient est 23, le reste 600 − 598 = 2.
600 = 26 × 23 + 2, avec 2 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 9 » :
(a) 102 = 9 × 10 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 9, on pouvait encore mettre 9 une fois de plus.
(b) 102 = 9 × 11 + 3 : le reste 3 est bien inférieur à 9. ✔
(c) 102 = 9 × 12 − 6 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
C'est l'égalité (b) : quotient 11, reste 3.
Comme 3 < 11 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 102 par 11 : quotient 9, reste 3.
3. 162 = 7 × 23 + 1
a) 162 jours font 23 semaines complètes et 1 jour.
Après 23 semaines complètes, on est de nouveau mercredi. Il reste à avancer de 1 jour : mercredi → jeudi.
b) Dans 162 jours, nous serons jeudi.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 501 | non | oui | non | non | non |
| 9 459 | non | oui | non | oui | non |
| 6 088 | oui | non | non | non | non |
| 6 970 | oui | non | oui | non | oui |
| 935 | non | non | oui | non | non |
Sommes des chiffres :
501 → 5 + 0 + 1 = 6 9 459 → 9 + 4 + 5 + 9 = 27 6 088 → 6 + 0 + 8 + 8 = 22
6 970 → 6 + 9 + 7 + 0 = 22 935 → 9 + 3 + 5 = 17
2. Somme des chiffres : 1 + □ + 4 = 5 + □. Elle doit être dans la table de 9.
□ = 4 : 9
Une seule solution : 144.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 83 se termine par 3, mais 83 = 3 × 27 + 2. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 5 est un diviseur de 94. » Faux. 94 = 5 × 18 + 4 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 69 − 3 × 7 = 69 − 21 = 48
B = 6 × 6 − 4 × 6 = 36 − 24 = 12
C = (5 × 7 − 3) ÷ 4 = (35 − 3) ÷ 4 = 32 ÷ 4 = 8
D = 4 × [40 − (9 + 6)] = 4 × [40 − 15] = 4 × 25 = 100
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × 7 − (9 + 8) = 4 × 7 − 17 = 28 − 17 = 11
2 × (4 − 3) + 6 = 2 × 1 + 6 = 2 + 6 = 8
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 27 × 99 = 27 × (100 − 1) = 27 × 100 − 27 × 1 = 2 700 − 27 = 2 673
F = 11 + 3,45 + 89 = 11 + 89 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
G = 3,6 × 0,7 + 3,6 × 0,3 = 3,6 × (0,7 + 0,3) = 3,6 × 1 = 3,6
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 2,5 × 2,5 = 2,5² 10 × 10 = 10² 3 × 3 × 3 = 3³
6 + 6 + 6 = 3 × 6 = 18 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 6³ = 216.
2. 7² = 7 × 7 = 49 4³ = 4 × 4 × 4 = 64 0,5² = 0,5 × 0,5 = 0,25
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 50² = 50 × 50 = 2 500
3. « 4 × 5² = 20² » Faux. 4 × 5² = 4 × 25 = 100, alors que 20² = 400. Le carré ne porte que sur 5.
« 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 3² = 6 » Faux. 3² = 3 × 3 = 9. L'exposant ne multiplie pas : 3 × 2 = 6, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
8 = 2³ : cube 49 = 7² : carré
61 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 61 < 64 = 8²) 64 = 8² = 4³ : carré et cube !
111 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 111 < 121 = 11²) 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 6² − 6 = 4 × 36 − 6 = 144 − 6 = 138
B = (4 × 6)² − 6 = 24² − 6 = 576 − 6 = 570
C = 4² + 5² = 16 + 25 = 41
D = (4 + 5)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 6 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 6. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 7 = 3 × 4² − 7 = 3 × 16 − 7 = 48 − 7 = 41
B = (3a)² − 7 = (3 × 4)² − 7 = 12² − 7 = 144 − 7 = 137
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Un carré de n dalles de côté en utilise n × n = n². On cherche le plus grand carré qui ne dépasse pas 157 :
12² = 144 ≤ 157 et 13² = 169 > 157.
a) Elle mettra 12 dalles sur chaque côté.
157 − 144 = 13
b) Il lui restera 13 dalles.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 41 et 89. » → encore 47 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81.
« Je ne suis pas divisible par 3. » → reste : 49, 64.
« Je ne suis pas divisible par 2. » → reste : 49.
Le nombre mystère est 49 (49 = 7²).
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