Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (22 − 3) × 4 = 19 × 4 = 76
B = 22 − 3 × 4 = 22 − 12 = 10
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 8 × (5 − 3) est un produit : c'est le produit de 8 par la différence entre 5 et 3.
D = 8² + 4² est une somme : c'est la somme des carrés de 8 et de 4.
E = 2 × 8² − 6 est une différence : c'est la différence entre le produit de 2 par le carré de 8 et 6.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 9 × 84 = 756 ≤ 760 < 765 = 9 × 85 : le quotient est 84, le reste 760 − 756 = 4.
760 = 9 × 84 + 4, avec 4 < 9.
18 × 61 = 1 098 ≤ 1 104 < 1 116 = 18 × 62 : le quotient est 61, le reste 1 104 − 1 098 = 6.
1 104 = 18 × 61 + 6, avec 6 < 18.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 8 » :
(a) 286 = 8 × 36 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(b) 286 = 8 × 35 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 8. ✔
(c) 286 = 8 × 34 + 14 : le « reste » 14 est plus grand que 8, on pouvait encore mettre 8 une fois de plus.
C'est l'égalité (b) : quotient 35, reste 6.
Comme 6 < 35 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 286 par 35 : quotient 8, reste 6.
3. 54 = 7 × 7 + 5, avec 5 < 7
a) Chaque joueur reçoit 7 cartes.
b) La pioche contient 5 cartes.
Le reste est toujours plus petit que le diviseur : s'il restait 7 cartes ou plus, on pourrait encore en donner une à chacun.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 4 887 | non | oui | non | oui | non |
| 507 | non | oui | non | non | non |
| 655 | non | non | oui | non | non |
| 8 780 | oui | non | oui | non | oui |
| 3 352 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
4 887 → 4 + 8 + 8 + 7 = 27 507 → 5 + 0 + 7 = 12 655 → 6 + 5 + 5 = 16
8 780 → 8 + 7 + 8 + 0 = 23 3 352 → 3 + 3 + 5 + 2 = 13
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 3 + 0 + □ = 3 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3
Une seule solution : 300.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 74 est pair mais 74 = 3 × 24 + 2.
« 68 est un multiple de 6. » Faux. 68 = 6 × 11 + 2 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 42 − 4 × 8 = 42 − 32 = 10
B = 3 × 3 − 3 × 3 = 9 − 9 = 0
C = (7 + 2) × 3 − 8 = 9 × 3 − 8 = 27 − 8 = 19
D = [3 + 7 × (6 − 1)] ÷ 2 = [3 + 7 × 5] ÷ 2 = [3 + 35] ÷ 2 = 38 ÷ 2 = 19
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
(3 + 7) × 8 − 8 = 10 × 8 − 8 = 80 − 8 = 72
(7 + 4) × 4 − 5 = 11 × 4 − 5 = 44 − 5 = 39
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 12,5 × 0,8 + 12,5 × 0,2 = 12,5 × (0,8 + 0,2) = 12,5 × 1 = 12,5
F = 29 × 101 = 29 × (100 + 1) = 29 × 100 + 29 × 1 = 2 900 + 29 = 2 929
G = 21 + 3,45 + 79 = 21 + 79 + 3,45 = 100 + 3,45 = 103,45
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,5 × 1,5 = 1,5² 3 × 3 × 3 = 3³ 3 × 3 = 3²
9 + 9 + 9 = 3 × 9 = 27 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 9³ = 729.
2. 11² = 11 × 11 = 121 3³ = 3 × 3 × 3 = 27 0,9² = 0,9 × 0,9 = 0,81
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (1 + 4)² = 1² + 4² » Faux. (1 + 4)² = 5² = 25, alors que 1² + 4² = 1 + 16 = 17.
« 4² = 8 » Faux. 4² = 4 × 4 = 16. L'exposant ne multiplie pas : 4 × 2 = 8, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
21 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 21 < 25 = 5²) 25 = 5² : carré
58 : ni l'un ni l'autre (7² = 49 < 58 < 64 = 8²) 112 : ni l'un ni l'autre (10² = 100 < 112 < 121 = 11²)
121 = 11² : carré 1 000 = 10³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 3 × 4² − 2 = 3 × 16 − 2 = 48 − 2 = 46
B = (3 × 4)² − 2 = 12² − 2 = 144 − 2 = 142
C = 1² + 7² = 1 + 49 = 50
D = (1 + 7)² = 8² = 64
A ≠ B : dans A, seul 4 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 3 × 4. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace x par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 5x² − 2 = 5 × 4² − 2 = 5 × 16 − 2 = 80 − 2 = 78
B = (5x)² − 2 = (5 × 4)² − 2 = 20² − 2 = 400 − 2 = 398
Dans A, seul x est au carré ; dans B, c'est le produit 5x tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. V = 20³ = 20 × 20 × 20 = 8 000
a) Le volume est de 8 000 cm³.
Un cube de 10 cm d'arête a pour volume 10³ = 1 000 cm³ = 1 L.
8 000 ÷ 1 000 = 8
b) L'aquarium contient 8 litres.
Autre façon de voir : 20 cm, c'est 2 fois 10 cm ; on range 2 × 2 × 2 = 8 cubes d'un litre dans l'aquarium.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 88 et 138. » → encore 49 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 100, 121.
« Mon chiffre des unités est 0. » → reste : 100.
Le nombre mystère est 100 (100 = 10²).
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