Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = (4 + 7) × 7 = 11 × 7 = 77
B = 4 + 7 × 7 = 4 + 49 = 53
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 4 × 8² − 2 est une différence : c'est la différence entre le produit de 4 par le carré de 8 et 2.
D = (3 + 2)³ est un cube : c'est le cube de la somme de 3 et 2.
E = 2 × 4² est un produit : c'est le double du carré de 4.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 7 × 140 = 980 ≤ 986 < 987 = 7 × 141 : le quotient est 140, le reste 986 − 980 = 6.
986 = 7 × 140 + 6, avec 6 < 7.
20 × 40 = 800 ≤ 808 < 820 = 20 × 41 : le quotient est 40, le reste 808 − 800 = 8.
808 = 20 × 40 + 8, avec 8 < 20.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 14 » :
(a) 230 = 14 × 15 + 20 : le « reste » 20 est plus grand que 14, on pouvait encore mettre 14 une fois de plus.
(b) 230 = 14 × 17 − 8 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 230 = 14 × 16 + 6 : le reste 6 est bien inférieur à 14. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 16, reste 6.
Comme 6 < 16 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 230 par 16 : quotient 14, reste 6.
3. 176 = 25 × 7 + 1
En 7 soirs, elle lit 175 pages ; il lui en reste encore 1.
a) Il lui faut 7 + 1 = 8 soirs.
b) Le dernier soir, elle lit 1 page.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 355 | non | non | oui | non | non |
| 7 100 | oui | non | oui | non | oui |
| 627 | non | oui | non | non | non |
| 9 729 | non | oui | non | oui | non |
| 7 768 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
355 → 3 + 5 + 5 = 13 7 100 → 7 + 1 + 0 + 0 = 8 627 → 6 + 2 + 7 = 15
9 729 → 9 + 7 + 2 + 9 = 27 7 768 → 7 + 7 + 6 + 8 = 28
2. Divisible par 2 : □ est pair (0, 2, 4, 6 ou 8).
Divisible par 3 : 9 + 4 + □ = 13 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 2 : 15 ; □ = 8 : 21
2 solutions : 942, 948.
3. « Un nombre pair est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 80 est pair mais 80 = 3 × 26 + 2.
« 8 est un diviseur de 151. » Faux. 151 = 8 × 18 + 7 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 25 + 8 × 7 = 25 + 56 = 81
B = 6 × 6 − 4 × 2 = 36 − 8 = 28
C = 89 − 5 × (19 − 4) = 89 − 5 × 15 = 89 − 75 = 14
D = 9,4 + 5 × 1,2 = 9,4 + 6 = 15,4
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
4 × 4 − (4 + 4) = 4 × 4 − 8 = 16 − 8 = 8
6 × (3 + 6 + 7) = 6 × (9 + 7) = 6 × 16 = 96
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 44 × 45 + 44 × 55 = 44 × (45 + 55) = 44 × 100 = 4 400
F = 19 × 9 = 19 × (10 − 1) = 19 × 10 − 19 × 1 = 190 − 19 = 171
G = 37 + 0,75 + 63 = 37 + 63 + 0,75 = 100 + 0,75 = 100,75
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 1,1 × 1,1 = 1,1² 3 × 3 = 3² 3 × 3 × 3 = 3³
2 + 2 + 2 = 3 × 2 = 6 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 2³ = 8.
2. 12² = 12 × 12 = 144 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 0,8² = 0,8 × 0,8 = 0,64
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« (4 + 1)² = 4² + 1² » Faux. (4 + 1)² = 5² = 25, alors que 4² + 1² = 16 + 1 = 17.
« La somme de deux carrés est toujours un carré. » Faux. Contre-exemple : 3² + 5² = 9 + 25 = 34, qui n'est le carré d'aucun entier (5² = 25 et 6² = 36). Cela arrive parfois (3² + 4² = 25 = 5²), mais pas toujours.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
25 = 5² : carré 39 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 39 < 49 = 7²)
74 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 74 < 81 = 9²) 79 : ni l'un ni l'autre (8² = 64 < 79 < 81 = 9²)
125 = 5³ : cube 144 = 12² : carré
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 4 × 2² − 2 = 4 × 4 − 2 = 16 − 2 = 14
B = (4 × 2)² − 2 = 8² − 2 = 64 − 2 = 62
C = 7² + 6² = 49 + 36 = 85
D = (7 + 6)² = 13² = 169
A ≠ B : dans A, seul 2 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 4 × 2. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par sa valeur, en rétablissant le signe × qui était sous-entendu.
Pour a = 2 : 2a³ = 2 × 2³ = 2 × 8 = 16
Pour a = 10 : 2a³ = 2 × 10³ = 2 × 1 000 = 2 000
Exercice 7 — Correction
1. On cherche le nombre qui, multiplié par lui-même, donne 900 : 30 × 30 = 900, c'est-à-dire 30² = 900.
a) Le côté mesure 30 m.
4 × 30 = 120
b) Le périmètre est de 120 m.
Ne pas confondre : l'aire du carré est côté², son périmètre 4 × côté.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 9 et 41. » → encore 31 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 16, 25, 36.
« Je ne suis pas divisible par 5. » → reste : 16, 36.
« Je suis divisible par 3. » → reste : 36.
Le nombre mystère est 36 (36 = 6²).
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