Exercice 1 — Correction
La nature d'une expression, c'est sa dernière opération. « 3 + 4 × 5 » est une somme : on calcule d'abord 4 × 5, et l'opération qui termine le calcul est l'addition.
1. A = 3² + 6² = 9 + 36 = 45
B = (3 + 6)² = 9² = 81
Mêmes mots, ordre différent, résultats différents : c'est le premier mot qui dit quelle opération se fait en dernier.
2. C = 5 × 5² − 7 est une différence : c'est la différence entre le produit de 5 par le carré de 5 et 7.
D = 7 × (18 − 12) est un produit : c'est le produit de 7 par la différence entre 18 et 12.
E = (6 + 50) ÷ 7 est un quotient : c'est le quotient de la somme de 6 et 50 par 7.
Exercice 2 — Correction
Division euclidienne de a par b : on cherche deux entiers q (quotient) et r (reste) tels que a = b × q + r, avec r < b.
1. 8 × 78 = 624 ≤ 630 < 632 = 8 × 79 : le quotient est 78, le reste 630 − 624 = 6.
630 = 8 × 78 + 6, avec 6 < 8.
26 × 75 = 1 950 ≤ 1 958 < 1 976 = 26 × 76 : le quotient est 75, le reste 1 958 − 1 950 = 8.
1 958 = 26 × 75 + 8, avec 8 < 26.
2. Les trois égalités sont justes, mais une seule respecte la condition « reste < 7 » :
(a) 152 = 7 × 20 + 12 : le « reste » 12 est plus grand que 7, on pouvait encore mettre 7 une fois de plus.
(b) 152 = 7 × 22 − 2 : ce n'est pas la forme b × q + r (on retranche au lieu d'ajouter).
(c) 152 = 7 × 21 + 5 : le reste 5 est bien inférieur à 7. ✔
C'est l'égalité (c) : quotient 21, reste 5.
Comme 5 < 21 aussi, la même égalité traduit la division euclidienne de 152 par 21 : quotient 7, reste 5.
3. 61 = 6 × 10 + 1, avec 1 < 6
a) Elle remplit 10 boîtes pleines.
b) Il reste 1 œuf.
Le quotient donne le nombre de boîtes pleines, le reste ce qui ne suffit pas à en remplir une de plus.
Exercice 3 — Correction
Par 2 : chiffre des unités pair. Par 5 : chiffre des unités 0 ou 5. Par 10 : chiffre des unités 0. Par 3 (par 9) : la somme des chiffres est divisible par 3 (par 9).
1.
| Nombre | par 2 | par 3 | par 5 | par 9 | par 10 |
|---|
| 687 | non | oui | non | non | non |
| 515 | non | non | oui | non | non |
| 8 330 | oui | non | oui | non | oui |
| 4 833 | non | oui | non | oui | non |
| 2 906 | oui | non | non | non | non |
Sommes des chiffres :
687 → 6 + 8 + 7 = 21 515 → 5 + 1 + 5 = 11 8 330 → 8 + 3 + 3 + 0 = 14
4 833 → 4 + 8 + 3 + 3 = 18 2 906 → 2 + 9 + 0 + 6 = 17
2. Divisible par 5 : □ vaut 0 ou 5.
Divisible par 3 : 2 + 1 + □ = 3 + □ doit être dans la table de 3.
□ = 0 : 3
Une seule solution : 210.
3. « Un nombre dont le chiffre des unités est 3 est divisible par 3. » Faux. Contre-exemple : 13 se termine par 3, mais 13 = 3 × 4 + 1. Pour 3, on regarde la somme des chiffres, pas le dernier.
« 196 est un multiple de 9. » Faux. 196 = 9 × 21 + 7 : le reste n'est pas nul.
Exercice 4 — Correction
Ordre des calculs : d'abord ce qui est entre parenthèses (les plus intérieures en premier), puis les puissances, puis × et ÷, enfin + et −. À priorité égale, de gauche à droite.
1. A = 88 − 2 × 4 = 88 − 8 = 80
B = 63 ÷ 9 × 2 = 7 × 2 = 14
C = (11 + 3) × 2 − 12 = 14 × 2 − 12 = 28 − 12 = 16
D = 2,5 + 2 × 0,5 = 2,5 + 1 = 3,5
2. On essaie les placements possibles ; un seul donne le résultat demandé.
8 − (4 + 3) + 9 = 8 − 7 + 9 = 1 + 9 = 10
6 − (4 + 3 − 2) = 6 − (7 − 2) = 6 − 5 = 1
3. On cherche un nombre « rond » : 10, 100, 1 000…
E = 8 × 98 × 125 = 8 × 125 × 98 = 1 000 × 98 = 98 000
F = 1,5 × 0,4 + 1,5 × 0,6 = 1,5 × (0,4 + 0,6) = 1,5 × 1 = 1,5
G = 24 × 101 = 24 × (100 + 1) = 24 × 100 + 24 × 1 = 2 400 + 24 = 2 424
Distributivité : k × (a + b) = k × a + k × b et k × (a − b) = k × a − k × b. Lue de gauche à droite, elle développe ; lue de droite à gauche, elle factorise.
Exercice 5 — Correction
a² = a × a (a au carré) et a³ = a × a × a (a au cube). L'exposant dit combien de fois le nombre est facteur ; il ne multiplie jamais le nombre.
1. 5 × 5 × 5 = 5³ 1,1 × 1,1 = 1,1² 7 × 7 = 7²
3 + 3 + 3 = 3 × 3 = 9 : c'est une somme, pas un produit. Ce n'est pas 3³ = 27.
2. 7² = 7 × 7 = 49 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 0,3² = 0,3 × 0,3 = 0,09
10³ = 10 × 10 × 10 = 1 000 40² = 40 × 40 = 1 600
3. « 0² = 0 » Vrai. 0 × 0 = 0.
« 2³ = 6 » Faux. 2³ = 2 × 2 × 2 = 8, et non 3 × 2.
« 8² = 16 » Faux. 8² = 8 × 8 = 64. L'exposant ne multiplie pas : 8 × 2 = 16, c'est le double.
4. On compare aux carrés des entiers de 0 à 12 (0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144) et aux premiers cubes (1, 8, 27, 64, 125, 216, …, 1 000).
22 : ni l'un ni l'autre (4² = 16 < 22 < 25 = 5²) 25 = 5² : carré
45 : ni l'un ni l'autre (6² = 36 < 45 < 49 = 7²) 81 = 9² : carré
123 : ni l'un ni l'autre (11² = 121 < 123 < 144 = 12²) 125 = 5³ : cube
Exercice 6 — Correction
Les puissances passent avant les multiplications — mais après les parenthèses.
1. A = 2 × 5² − 2 = 2 × 25 − 2 = 50 − 2 = 48
B = (2 × 5)² − 2 = 10² − 2 = 100 − 2 = 98
C = 5² + 4² = 25 + 16 = 41
D = (5 + 4)² = 9² = 81
A ≠ B : dans A, seul 5 est élevé au carré ; dans B, c'est tout le produit 2 × 5. Et C ≠ D : le carré d'une somme n'est pas la somme des carrés.
2. On remplace a par 4 en rétablissant les signes ×.
A = 3a² − 8 = 3 × 4² − 8 = 3 × 16 − 8 = 48 − 8 = 40
B = (3a)² − 8 = (3 × 4)² − 8 = 12² − 8 = 144 − 8 = 136
Dans A, seul a est au carré ; dans B, c'est le produit 3a tout entier.
Exercice 7 — Correction
1. Une face est un carré de 6 petits cubes sur 6 : 6² = 6 × 6 = 36.
a) On voit 36 petits cubes sur une face.
Le grand cube compte 6 couches de 36 petits cubes : 6³ = 6 × 6 × 6 = 216.
b) Il a utilisé 216 petits cubes.
Les cubes sans peinture sont ceux de l'intérieur : on retire une épaisseur de chaque côté, il reste un cube de 6 − 2 = 4 petits cubes d'arête. 4³ = 4 × 4 × 4 = 64.
c) 64 petits cubes n'ont aucune face peinte.
Voilà pourquoi on dit « au carré » pour une surface et « au cube » pour un volume.
2. On part de l'encadrement, puis chaque indice élimine des candidats.
« Je suis compris entre 45 et 103. » → encore 57 possibilités.
« Je suis le carré d'un nombre entier. » → reste : 49, 64, 81, 100.
« Je suis divisible par 9. » → reste : 81.
Le nombre mystère est 81 (81 = 9²).
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